Вычислить предел (sin 3x − cos 2x)/(2x − π)² при x стремится к π/2.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим вид выражения. При $x=\frac{\pi}{2}$: $\sin\frac{3\pi}{2}=-1$, $\cos\pi=-1$, значит числитель равен $-1-(-1)=0$, а знаменатель также обращается в $0$ — получается неопределённость вида $\frac{0}{0}$.

2. 2

   Сделаем замену переменной. Пусть $x=\frac{\pi}{2}+t$, где $t\to 0$. Тогда знаменатель превращается в $(2t)^2=4t^2$, и для конечного предела числитель тоже должен обращаться в нуль не ниже второго порядка.

3. 3

   Преобразуем числитель. $\sin\left(\frac{3\pi}{2}+3t\right)=-\cos 3t$, а $\cos(\pi+2t)=-\cos 2t$, поэтому числитель становится $-\cos 3t+\cos 2t=\cos 2t-\cos 3t$.

4. 4

   Разложим оба косинуса до второго порядка. $\cos 2t\approx 1-2t^2$, $\cos 3t\approx 1-\frac{9}{2}t^2$, значит $\cos 2t-\cos 3t\approx\frac{9}{2}t^2-2t^2=\frac{5}{2}t^2$. Постоянные слагаемые сокращаются, как и требовалось для неопределённости $\frac{0}{0}$.

5. 5

   Составим отношение. $\frac{\frac{5}{2}t^2}{4t^2}=\frac{5}{8}$ — выражение не зависит от $t$, значит предел равен $\frac{5}{8}$.

6. 6

   Проверим численно. При $x=\frac{\pi}{2}+10^{-4}$ исходное выражение даёт $0.6249999932$, что совпадает с $\frac{5}{8}=0.625$.