Решить дифференциальное уравнение dy/dx = e^y.

Step-by-step solution

1. 1

   Разделим переменные. Вся зависимость от $y$ находится в правой части, поэтому поделим обе части на $e^{y}$ — это допустимо, так как $e^{y}$ не обращается в ноль:

   $e^{-y}\,dy = dx$

2. 2

   Проинтегрируем обе части.

   $\int e^{-y}\,dy = \int dx \quad\Longrightarrow\quad -e^{-y} = x + C_0$

   Достаточно одной константы; учитывая знак, перепишем $e^{-y} = C - x$, где $C = -C_0$.

3. 3

   Выразим $y$ явно. Для применения натурального логарифма требуется $C - x > 0$:

   $-y = \ln(C - x) \quad\Longrightarrow\quad y = -\ln(C - x)$

4. 4

   Определим область определения, что здесь принципиально важно. Решение существует только при $x < C$. При $x \to C^{-}$ аргумент логарифма стремится к $0^{+}$, и $y \to +\infty$: решение «взрывается» за конечное время, несмотря на то, что правая часть $e^{y}$ всюду гладкая. Это классический пример, когда локальное существование не гарантирует глобального.

5. 5

   Проверим подстановкой. Пусть $C = 5$, $x = 1$: $y = -\ln 4 \approx -1.386294$, тогда $e^{y} = \tfrac14 = 0.25$. Дифференцируя, $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{C-x} = \frac14 = 0.25$. Значения совпадают, а центральная разность при $x = 1$ с шагом $10^{-6}$ также даёт $0.250000$.