Пусть h(x) = (2x + 1)^5 (x^2 - 1)^3. Какое выражение совпадает с h'(x)?

Step-by-step solution

1. 1

   Определим внешнюю структуру — это произведение. Функция $h$ представляется в виде $u\cdot v$, где

   $u=(2x+1)^{5},\qquad v=\left(x^{2}-1\right)^{3},$

   значит, применяется правило произведения: $h'=u'v+uv'$. Варианты (C) и (D) содержат только одно слагаемое, поэтому они сразу неверны — здесь перемножены производные, а не применено правило произведения.

2. 2

   Найдём производную u по правилу цепочки. Степень выносится вперёд, уменьшается на единицу, затем умножается на производную внутренней функции:

   $u'=5(2x+1)^{4}\cdot\frac{d}{dx}(2x+1)=5(2x+1)^{4}\cdot 2=10(2x+1)^{4}.$

   Именно множитель $2$ отличает вариант (B) от варианта (A).

3. 3

   Найдём производную v по правилу цепочки.

   $v'=3\left(x^{2}-1\right)^{2}\cdot\frac{d}{dx}\left(x^{2}-1\right)=3\left(x^{2}-1\right)^{2}\cdot 2x=6x\left(x^{2}-1\right)^{2}.$

4. 4

   Соберём производную по правилу произведения.

   $h'(x)=10(2x+1)^{4}\left(x^{2}-1\right)^{3}+6x(2x+1)^{5}\left(x^{2}-1\right)^{2},$

   что полностью совпадает с вариантом (B).

5. 5

   Поясним, почему (A) — типичная ошибка. Вариант (A) получается, если забыть про внутренние производные — там стоят $5$ и $3$ вместо $10$ и $6x$. Если внутри скобок не просто $x$, обязательно появляется дополнительная производная внутренней функции.

6. 6

   Проверим символически. Если продифференцировать исходное выражение и вычесть вариант (B), получится ровно $0$, что подтверждает правильность. Для дополнительной проверки можно вынести общий множитель $(2x+1)^4(x^2-1)^2$ и получить $h'(x)=(2x+1)^4(x^2-1)^2\left[10(x^2-1)+6x(2x+1)\right]=(2x+1)^4(x^2-1)^2\left(22x^2+6x-10\right)$.