Найдите такие значения a, b и c, при которых функция f непрерывна в точке x = 1, где f(x) = (a x² - x - 1)/(x - 1) при x > 1, f(1) = b, а f(x) = -x + c при x < 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Сформулируем требование непрерывности в точке. Для непрерывности функции в $x=1$ необходимо, чтобы существовали и совпадали три значения:

   $\lim_{x\to1^-}f(x)=f(1)=\lim_{x\to1^+}f(x)$

   Поскольку каждая из трёх частей содержит свою неизвестную, получаем три уравнения. Начнём с правой части, так как она даёт наибольшее ограничение.

2. 2

   Требуем конечности правого предела — это определяет $a$. При $x\to1^+$ знаменатель $x-1\to0$. Если числитель не будет также стремиться к $0$, дробь устремится к $\pm\infty$, и никакой выбор $b$ или $c$ не обеспечит непрерывность. Значит, необходимо:

   $a(1)^2-1-1=0\quad\Longrightarrow\quad a-2=0\quad\Longrightarrow\quad a=2.$

   Например, при $a=3$ числитель $\to1$, знаменатель $\to0^+$, и предел будет $+\infty$: исправить это невозможно.

3. 3

   Вынесем общий множитель и найдём предел. При $a=2$ числитель раскладывается, так как $x=1$ — его корень:

   $2x^2-x-1=(2x+1)(x-1)$

   $\lim_{x\to1^+}\frac{(2x+1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to1^+}(2x+1)=3$

   Сокращение допустимо, поскольку предел рассматривается только при $x\neq1$, где $x-1\neq0$.

4. 4

   Приравняем значение в точке, что определяет $b$. Для непрерывности требуется, чтобы $f(1)$ совпадало с этим пределом:

   $b=3.$

5. 5

   Приравняем левый предел, что определяет $c$. Левая часть — многочлен, поэтому её предел равен значению:

   $\lim_{x\to1^-}(-x+c)=-1+c$

   $-1+c=3\quad\Longrightarrow\quad c=4.$

6. 6

   Проверим, что все три значения совпадают. При $a=2$, $b=3$, $c=4$ левый предел равен $-1+4=3$, значение в точке $f(1)=3$, правый предел $2(1)+1=3$. Все совпадают, значит, $f$ непрерывна в $x=1$. Численно: $f(0{,}999)=3{,}001$, $f(1{,}001)=3{,}002$ — оба значения стремятся к $3$ с обеих сторон, как и должно быть.