Найти неопределённый интеграл x·e^(–x²) по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Почему этот интеграл вообще берётся. Похожий интеграл $\int e^{-x^2}dx$ не выражается через элементарные функции. Но дополнительный множитель $x$ всё меняет: он (с точностью до константы) совпадает с производной показателя степени, поэтому интеграл берётся чистой подстановкой. Именно это и есть ключевое наблюдение.

2. 2

   Выбираем подстановку. Пусть

   $u=-x^{2}\quad\Longrightarrow\quad du=-2x\,dx\quad\Longrightarrow\quad x\,dx=-\tfrac12\,du$

3. 3

   Переписываем интеграл полностью через $u$. $x\,dx$ из исходного выражения заменяется целиком, переменных $x$ не остаётся:

   $\int x\,e^{-x^{2}}\,dx=\int e^{u}\left(-\tfrac12\,du\right)=-\tfrac12\int e^{u}\,du$

4. 4

   Интегрируем и возвращаемся к переменной $x$.

   $-\tfrac12 e^{u}+C=-\tfrac12 e^{-x^{2}}+C$

5. 5

   Проверяем дифференцированием. По правилу цепочки:

   $\frac{d}{dx}\left(-\tfrac12 e^{-x^{2}}\right)=-\tfrac12 e^{-x^{2}}\cdot(-2x)=x\,e^{-x^{2}}$

   что совпадает с исходным подынтегральным выражением ✓. Для числовой проверки при $x=1.3$: симметричная разностная производная от $-\tfrac12 e^{-x^2}$ даёт $0.2398754$, а $x e^{-x^2}=0.2398754$ ✓.

6. 6

   Что будет для определённого интеграла. При пределах от $a$ до $b$ ответ: $\tfrac12\left(e^{-a^2}-e^{-b^2}\right)$; в частности, $\int_0^{\infty}x e^{-x^2}dx=\tfrac12$.