Решите с помощью преобразования Лапласа задачу Коши: y'' - y = 4·delta(t - 2) + t², y(0) = 0, y'(0) = 2, где delta — дельта-функция Дирака.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбирается преобразование Лапласа из-за наличия импульса. В правой части содержится $\delta(t-2)$, которая не интегрируется обычными методами; методы неопределённых коэффициентов и вариации постоянных здесь не работают. Преобразование Лапласа переводит импульс в обычную экспоненту $e^{-2s}$, и вся задача сводится к алгебре.

2. 2

   Преобразуем обе части, учитывая начальные условия. Используется $\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$ при $y(0)=0$, $y'(0)=2$, а также стандартные формулы $\mathcal{L}\{\delta(t-a)\} = e^{-as}$ и $\mathcal{L}\{t^2\} = 2/s^3$:

   $s^2Y - 2 - Y = 4e^{-2s} + \frac{2}{s^3}$

3. 3

   Выполним решение относительно $Y(s)$. Вынесем $Y$ за скобки в левой части:

   $Y(s) = \frac{2}{s^2-1} + \frac{4e^{-2s}}{s^2-1} + \frac{2}{s^3(s^2-1)}$

   Все три слагаемых затем будут обращены по отдельности — в этом и заключается преимущество работы в $s$-области.

4. 4

   Разложим неудобное третье слагаемое на простейшие дроби. Представим $\dfrac{1}{s^3(s^2-1)} = \dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{s^2} + \dfrac{C}{s^3} + \dfrac{Ds+E}{s^2-1}$ и приравняем коэффициенты: $A = -1$, $B = 0$, $C = -1$, $D = 1$, $E = 0$, значит

   $\frac{2}{s^3(s^2-1)} = -\frac{2}{s} - \frac{2}{s^3} + \frac{2s}{s^2-1}$

5. 5

   Выполним обратное преобразование для каждого слагаемого. Используются формулы $\mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2-1)\} = \sinh t$, $\mathcal{L}^{-1}\{s/(s^2-1)\} = \cosh t$, $\mathcal{L}^{-1}\{2/s^3\} = t^2$, а также теорема о сдвиге: $\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\} = u(t-a)f(t-a)$:

   $y(t) = 2\sinh t + 2\cosh t - t^2 - 2 + 4u(t-2)\sinh(t-2)$

6. 6

   Упростим выражение и проверим ответ. Так как $2\sinh t + 2\cosh t = 2e^{t}$,

   $y(t) = 2e^{t} - t^2 - 2 + 4u(t-2)\sinh(t-2)$

   Проверим: $y(0) = 2 - 0 - 2 = 0$, $y'(0) = 2 - 0 = 2$, оба условия выполняются. При $t<2$ слагаемое Хевисайда не действует, и $y'' - y = (2e^t - 2) - (2e^t - t^2 - 2) = t^2$, как требуется. При $t=2$ производная $y'$ скачкообразно увеличивается ровно на $4$, а $y$ остаётся непрерывной — это и есть физический смысл единичного импульса величины $4$.