Вычислите предел sin(9x)/cot(12x) при x, стремящемся к 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим, почему прямая подстановка не работает. При $x=0$ числитель $\sin(9x)$ стремится к $0$, а $\cot(12x)=\cos(12x)/\sin(12x)$ стремится к бесконечности. Отношение вида $0/\infty$ не является неопределённостью, но котангенс скрывает это, поэтому сначала перепишем выражение.

2. 2

   Заменим котангенс через синус и косинус. По определению $\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$, деление на $\cot(12x)$ эквивалентно умножению на обратную величину $\tan(12x)$: $\frac{\sin(9x)}{\cot(12x)}=\sin(9x)\cdot\frac{\sin(12x)}{\cos(12x)}=\frac{\sin(9x)\sin(12x)}{\cos(12x)}.$

3. 3

   Посмотрим, к чему стремится каждый множитель при $x\to 0$. Синус — функция непрерывная, причём $\sin 0=0$, значит, $\sin(9x)\to 0$ и $\sin(12x)\to 0$. Косинус также непрерывен, $\cos 0=1$, то есть $\cos(12x)\to 1$. Важно, что теперь знаменатель не стремится к нулю, поэтому сокращение или применение правила Лопиталя не требуется.

4. 4

   Подставим пределы. $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(9x)\sin(12x)}{\cos(12x)}=\frac{0\cdot 0}{1}=0.$

5. 5

   Проверим результат численно. При $x=0{,}01$ выражение равно $\sin(0.09)\tan(0.12)\approx 0.0899\times 0.1206\approx 0.01084$, а при $x=0{,}001$ — около $0.000108$. Значение уменьшается примерно в $100$ раз при уменьшении $x$ в $10$ раз, что соответствует главному члену $108x^2$. Предел равен $0$.