Исследовать кривую y = −2x²eˣ: найти точки пересечения с осями, точки экстремума и поведение при x → +∞ и x → −∞.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала определим знак всей функции. Для любого действительного $x$ имеем $x^2\ge0$ и $e^x>0$, поэтому

   $-2x^2e^x\le0$

   Значит, кривая целиком лежит на оси $x$ или ниже неё и касается оси только там, где $x^2=0$. Установив это ещё до дифференцирования, мы сразу отсекаем половину возможных вариантов эскиза.

2. 2

   Найдём точки пересечения с осями. Полагаем $y=0$: так как $e^x$ никогда не обращается в нуль, нужно $x^2=0$, то есть $x=0$. И пересечение с осью $x$, и пересечение с осью $y$ — это одна и та же точка $(0,0)$.

3. 3

   Дифференцируем по правилу произведения. При $u=-2x^2$ и $v=e^x$:

   $y'=-4xe^x+\left(-2x^2\right)e^x=-2e^x\left(x^2+2x\right)=-2e^xx(x+2)$

   Вынесение множителя $-2e^x$ делает критические точки видимыми с одного взгляда.

4. 4

   Находим критические точки. Поскольку $e^x\neq0$, равенство $y'=0$ требует $x(x+2)=0$:

   $x=0\qquad\text{или}\qquad x=-2$

   При $x=0$ получаем $y=0$. При $x=-2$:

   $y=-2(-2)^2e^{-2}=-8e^{-2}=-\frac{8}{e^2}\approx-1.083$

5. 5

   Классифицируем их по знаку y'. Множитель $-2e^x$ всегда отрицателен, поэтому знак $y'$ противоположен знаку $x(x+2)$: минус при $x<-2$, плюс при $-2<x<0$, минус при $x>0$. Значит, кривая убывает, затем возрастает, затем снова убывает — это даёт локальный минимум в точке $\left(-2,-\tfrac{8}{e^2}\right)$ и локальный максимум в точке $(0,0)$. Максимальное значение $0$ является и глобальным максимумом, что согласуется с шагом 1.

6. 6

   Определяем поведение на бесконечности. При $x\to-\infty$ множитель $e^x\to0$ гораздо быстрее, чем растёт $x^2\to\infty$, поэтому $y\to0^-$: ось $x$ — горизонтальная асимптота, к которой кривая приближается снизу. При $x\to+\infty$ оба множителя растут и $y\to-\infty$, причём падение очень крутое. Итоговая форма такова: слева кривая прижимается к оси снизу, опускается до $-1.083$ при $x=-2$, возвращается вверх и касается начала координат, а затем неограниченно уходит вниз.

7. 7

   Проверяем ключевые числа. Симметричные разностные отношения с шагом $10^{-7}$ совпадают с $y'=-2e^xx(x+2)$ при $x=-3,-1,0.5,2$ ✓. Контрольные значения: $y(-4)=-0.586$, $y(-3)=-0.896$, $y(-2)=-1.083$, $y(-1)=-0.736$, $y(1)=-5.437$, $y(2)=-59.112$ — все пересчитаны и подтверждают как впадину при $x=-2$, так и крутое падение справа ✓.