Вычислить интеграл 1/(√x · √(x+1)) dx.

Step-by-step solution

1. 1

   Подбирается подстановка, которая упростит оба корня одновременно. Проблема состоит в одновременном наличии $\sqrt{x}$ и $\sqrt{x+1}$. Тождество $\cosh^{2}t-\sinh^{2}t=1$ как раз связывает такие выражения, поэтому положим

   $x=\sinh^{2}t$

   Тогда $\sqrt{x}=\sinh t$, а $\sqrt{x+1}=\sqrt{\sinh^{2}t+1}=\cosh t$ — оба корня становятся элементарными функциями.

2. 2

   Вычисляется дифференциал. По правилу цепочки получаем:

   $dx=2\sinh t\cosh t\,dt$

3. 3

   Выполняется подстановка и наблюдается сокращение.

   $\int\frac{1}{\sinh t\cosh t}\cdot2\sinh t\cosh t\,dt=\int2\,dt=2t+C$

   Весь интеграл свёлся к константе — это признак удачно выбранной подстановки.

4. 4

   Возвращаемся к исходной переменной. Из $x=\sinh^{2}t$ при $t\ge0$ имеем $\sinh t=\sqrt{x}$, значит $t=\operatorname{arsinh}\sqrt{x}$, и

   $\int\frac{dx}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}=2\operatorname{arsinh}\sqrt{x}+C$

5. 5

   Записывается логарифмическая форма. Используется равенство $\operatorname{arsinh}u=\ln\left(u+\sqrt{u^{2}+1}\right)$ при $u=\sqrt{x}$:

   $2\operatorname{arsinh}\sqrt{x}=2\ln\!\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)$

   Обе формы совпадают с точностью до $10^{-13}$ при $x=0{,}3$, $1$ и $4$ ✓. Логарифмическая запись часто удобнее, так как не требует обратных гиперболических функций.

6. 6

   Проводится проверка обратным дифференцированием. Численная производная $2\operatorname{arsinh}\sqrt{x}$ совпадает с $\dfrac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}$ при $x=0{,}3$, $1$ и $4$ с точностью до $10^{-5}$ ✓. Символически производная $2\ln\left(\sqrt x+\sqrt{x+1}\right)$ даёт $\dfrac{2}{\sqrt x+\sqrt{x+1}}\left(\dfrac{1}{2\sqrt x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}\right)$, что упрощается до подынтегральной функции ✓. Область определения — $x>0$.