Вычислить интеграл от 0 до 1: (ln⁴x · ln(1−x)) ⁄ (x(1−x)) dx.

Step-by-step solution

1. 1

   Разобьём ядро на две стандартные части. По формуле разложения на простейшие дроби $\frac{1}{x(1-x)}=\frac1x+\frac1{1-x}$, поэтому $I=I_1+I_2$, где $I_1=\int_0^1\frac{\ln^{4}x\,\ln(1-x)}{x}\,dx,\qquad I_2=\int_0^1\frac{\ln^{4}x\,\ln(1-x)}{1-x}\,dx .$ Для этих двух интегралов подходят разные разложения в ряд, поэтому простая замена $x\mapsto 1-x$ здесь не работает.

2. 2

   Вычислим первую часть с помощью разложения логарифма. Используется $\ln(1-x)=-\sum_{n\ge1}\frac{x^{n}}{n}$ и стандартный момент $\int_0^1 x^{n-1}\ln^{4}x\,dx=\frac{4!}{n^{5}}=\frac{24}{n^{5}}$, тогда $I_1=-\sum_{n\ge1}\frac{1}{n}\cdot\frac{24}{n^{5}}=-24\zeta(6).$

3. 3

   Вычислим вторую часть с помощью порождающей функции для гармонических чисел. Здесь $\frac{\ln(1-x)}{1-x}=-\sum_{n\ge1}H_n x^{n}$, а $\int_0^1 x^{n}\ln^{4}x\,dx=\frac{24}{(n+1)^{5}}$, поэтому $I_2=-24\sum_{n\ge1}\frac{H_n}{(n+1)^{5}} .$ Сдвигая индекс ($m=n+1$, $H_{m-1}=H_m-\frac1m$), получаем $I_2=-24\left(\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{5}}-\zeta(6)\right).$

4. 4

   Сложим обе части. Термины с $\zeta(6)$ сокращаются: $I=I_1+I_2=-24\zeta(6)-24\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{5}}+24\zeta(6)=-24\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{5}} .$ Теперь всё сводится к одной линейной сумме Эйлера.

5. 5

   Применим формулу Эйлера для линейной суммы. Для $\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{s}}=\left(1+\frac{s}{2}\right)\zeta(s+1)-\frac12\sum_{k=1}^{s-2}\zeta(k+1)\zeta(s-k)$ при $s=5$ имеем $\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{5}}=\frac72\zeta(6)-\zeta(2)\zeta(4)-\frac12\zeta(3)^{2}.$ Следовательно, $I=-84\zeta(6)+24\zeta(2)\zeta(4)+12\zeta(3)^{2}$.

6. 6

   Приведём к замкнутой форме и проверим численно. Используя $\zeta(6)=\frac{\pi^{6}}{945}$ и $\zeta(2)\zeta(4)=\frac{\pi^{2}}{6}\cdot\frac{\pi^{4}}{90}=\frac{\pi^{6}}{540}$, члены с $\pi^{6}$ объединяются: $-\frac{4}{45}\pi^{6}+\frac{2}{45}\pi^{6}=-\frac{2}{45}\pi^{6}$, получаем $I=12\zeta(3)^{2}-\frac{2\pi^{6}}{45}$. Численно это $-25.389119\ldots$, и численный интегратор для исходного интеграла даёт то же значение $-25.389119\ldots$.