Продифференцируйте y = 8x⁵ − 3x в степени минус 4, плюс 4 делить на x, минус 9.

Step-by-step solution

1. 1

   Приведём все четыре слагаемых к виду $cx^n$. Доработки требует только третье:

   $\frac4x=4x^{-1}$

   поэтому $y=8x^5-3x^{-4}+4x^{-1}-9$. Сделав это преобразование заранее, вы обработаете всю функцию одним-единственным правилом.

2. 2

   Продифференцируем старшее слагаемое.

   $\frac{d}{dx}\left(8x^5\right)=8\cdot 5x^4=40x^4$

   Показатель $5$ становится множителем и понижается до $4$.

3. 3

   Продифференцируем $-3x^{-4}$.

   $\frac{d}{dx}\left(-3x^{-4}\right)=-3\cdot(-4)x^{-4-1}=12x^{-5}$

   Вычитая единицу из $-4$, получаем $-5$: показатель становится более отрицательным, и именно этот шаг чаще всего выполняют наоборот.

4. 4

   Продифференцируем $4x^{-1}$ и заметим, что константа исчезает.

   $\frac{d}{dx}\left(4x^{-1}\right)=-4x^{-2},\qquad \frac{d}{dx}(-9)=0$

   Производная любой константы равна нулю, потому что у горизонтальной прямой нулевой наклон.

5. 5

   Соберём ответ с положительными показателями.

   $\frac{dy}{dx}=40x^4+\frac{12}{x^5}-\frac{4}{x^2}$

6. 6

   Проверим при $x=1$ и укажем область определения. Формула даёт $40+12-4=48$, что совпадает с численным разностным отношением исходной функции в точке $x=1$. И $y$, и $y'$ не определены при $x=0$, поэтому результат верен при $x\neq 0$.