Вычислить предел ln(1 + 2^x) · ln(1 + 2/x) при x стремящемся к плюс бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим вид неопределённости. При $x\to+\infty$ первый множитель $\ln(1+2^x)\to+\infty$, а второй $\ln\left(1+\tfrac{2}{x}\right)\to\ln 1=0$. Получается неопределённость вида $\infty\cdot 0$, поэтому результат зависит от того, как быстро растёт первый множитель по сравнению с убыванием второго.

2. 2

   Заменим растущий множитель на его главный член. Вынесем $2^x$ из-под логарифма:

   $\ln(1+2^x)=\ln\left[2^x\left(1+2^{-x}\right)\right]=x\ln 2+\ln\left(1+2^{-x}\right)$

   Поправка $\ln(1+2^{-x})\to 0$, поэтому

   $\frac{\ln(1+2^x)}{x\ln 2}\to 1,\qquad\text{т.е.}\qquad \ln(1+2^x)\sim x\ln 2$

   Запись точного равенства, а не только указание на порядок, делает это обоснование строгим.

3. 3

   Заменим убывающий множитель линейным приближением. Пусть $t=\tfrac{2}{x}\to 0$, стандартное асимптотическое равенство $\ln(1+t)\sim t$ даёт

   $\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)\sim\frac{2}{x}$

   Это следует из $\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1$, то есть производной $\ln(1+t)$ при $t=0$.

4. 4

   Перемножим полученные асимптотики. Асимптотические равенства можно перемножать, поэтому

   $\ln(1+2^x)\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)\sim (x\ln 2)\cdot\frac{2}{x}=2\ln 2$

   $x$ сокращается — один логарифм растёт линейно, другой убывает как $1/x$, и произведение стремится к постоянной.

5. 5

   Делаем вывод и вычисляем предел.

   $\boxed{\lim_{x\to+\infty}\ln(1+2^x)\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)=2\ln 2=\ln 4\approx 1.3863}$

6. 6

   Проверим сходимость численно. При $x=100$ произведение равно $1.37261$, при $x=1000$ — $1.38491$, при $x=10^4$ — $1.386156$. Значение медленно приближается к $2\ln 2=1.386294$ — ошибка убывает как $1/x$, что подтверждает правильность отброшенных членов.