Вычислить повторный интеграл в полярных координатах от 2cos(θ)sin(θ)/r² · r dr, где r меняется от √(cos θ · sin θ) до 1, а θ — от 0 до π/2.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала упростим подынтегральное выражение. Элемент площади в полярных координатах уже даёт множитель $r$, поэтому он сокращает одну степень в знаменателе:

   $\frac{2\cos\theta\sin\theta}{r^{2}}\cdot r=\frac{2\cos\theta\sin\theta}{r}=\frac{\sin2\theta}{r}$

   здесь использовано тождество двойного угла $2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$. Подынтегральная функция вида $\tfrac1r$ — верный признак того, что появится логарифм.

2. 2

   Вычислим внутренний интеграл по $r$. При фиксированном $\theta$ числитель постоянен:

   $\int_{\sqrt{\cos\theta\sin\theta}}^{1}\frac{\sin2\theta}{r}\,dr=\sin2\theta\Big[\ln r\Big]_{\sqrt{\cos\theta\sin\theta}}^{1}=-\sin2\theta\,\ln\sqrt{\cos\theta\sin\theta}$

   поскольку $\ln1=0$. Нижний предел меньше $1$, поэтому его логарифм отрицателен, а всё выражение — положительно.

3. 3

   Преобразуем логарифм через двойной угол. Так как $\cos\theta\sin\theta=\tfrac12\sin2\theta$,

   $-\ln\sqrt{\cos\theta\sin\theta}=-\tfrac12\ln\!\left(\tfrac12\sin2\theta\right)=-\tfrac12\left(\ln\sin2\theta-\ln2\right)$

   поэтому оставшийся интеграл имеет вид

   $I=-\frac12\int_{0}^{\pi/2}\sin2\theta\left(\ln\sin2\theta-\ln2\right)d\theta$

4. 4

   Сделаем замену $u=2\theta$. При этом $d\theta=\tfrac{du}{2}$, а $u$ пробегает значения от $0$ до $\pi$:

   $I=-\frac14\left[\int_{0}^{\pi}\sin u\,\ln\sin u\,du-\ln2\int_{0}^{\pi}\sin u\,du\right]$

5. 5

   Воспользуемся двумя табличными интегралами. Элементарный: $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin u\,du=2$. Логарифмический — это классический результат

   $\int_{0}^{\pi}\sin u\,\ln\sin u\,du=2\ln2-2$

   Подставляя оба:

   $I=-\frac14\left[(2\ln2-2)-2\ln2\right]=-\frac14(-2)=\frac12$

6. 6

   Проверим численно. Формула Симпсона, применённая к приведённой подынтегральной функции по $\theta$, то есть к $-\sin2\theta\ln\sqrt{\cos\theta\sin\theta}$ на промежутке $(0,\tfrac\pi2)$, даёт $0.4999999990$ ✓, что совпадает с $\tfrac12$ до восьмого знака. Отметим, что подынтегральная функция интегрируема на обоих концах, несмотря на обращение логарифма в бесконечность: множитель $\sin2\theta$ стремится к нулю быстрее, чем расходится $\ln$.