Найдите частную производную ln(x² + y²) по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Считаем $y$ константой. Именно в этом и состоит смысл частной производной по $x$: каждое появление $y$ рассматривается как фиксированное число, поэтому $y^2$ дифференцируется как $0$.

2. 2

   Применим правило цепочки для логарифма. Пусть $u=x^2+y^2$, тогда $\dfrac{d}{du}\ln u=\dfrac1u$:

   $\frac{\partial}{\partial x}\ln u=\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}$

   Типичная ошибка — забыть про внутреннюю производную и записать только $\tfrac{1}{x^2+y^2}$.

3. 3

   Вычислим производную внутренней функции по $x$:

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2+y^2\right)=2x+0=2x$

4. 4

   Объединим полученные части:

   $\frac{\partial}{\partial x}\ln\left(x^2+y^2\right)=\frac{2x}{x^2+y^2}$

   По симметрии выражения, другая частная производная равна $\dfrac{\partial}{\partial y}=\dfrac{2y}{x^2+y^2}$ — достаточно поменять местами $x$ и $y$.

5. 5

   Проверим результат на простых случаях. При $y=0$ функция превращается в $\ln x^2=2\ln|x|$, её производная — $\tfrac{2}{x}$; формула даёт $\tfrac{2x}{x^2}=\tfrac2x\;\checkmark$. Частная производная также обращается в ноль на всей оси $y$ при $x=0$, что соответствует минимуму $\ln\left(x^2+y^2\right)$ по $x$ при любом фиксированном $y\ne 0$. В точке $x=0$, $y=0$ функция не определена, значит, и производная тоже.