Вычислите предел при x стремящемся к бесконечности: ((x + 3)/(x - 1)) в степени (x + 3).

Step-by-step solution

1. 1

   Определим вид выражения. Основание стремится к $1$ (числитель и знаменатель растут как $x$), а показатель стремится к $\infty$. Это неопределённость вида $1^{\infty}$ — такой предел нельзя вычислить подстановкой пределов отдельно.

2. 2

   Преобразуем основание к виду «1 плюс малая часть». Разделим числитель:

   $\frac{x+3}{x-1}=\frac{(x-1)+4}{x-1}=1+\frac{4}{x-1}.$

   Такое представление позволяет привести выражение к стандартному пределу $\left(1+\tfrac1u\right)^{u}\to e$.

3. 3

   Введём замену $u = x - 1$ для точного совпадения с формулой. При $x\to\infty$ имеем $u\to\infty$, а показатель $x+3=u+4$:

   $\left(1+\frac{4}{u}\right)^{u+4}=\left[\left(1+\frac{4}{u}\right)^{u}\right]\cdot\left(1+\frac{4}{u}\right)^{4}.$

4. 4

   Вычислим пределы по отдельности. В скобках — стандартный предел при $a=4$:

   $\left(1+\frac{4}{u}\right)^{u}\longrightarrow e^{4},$

   а дополнительный множитель $\left(1+\tfrac4u\right)^{4}\to 1^{4}=1$. Таким образом, добавка $+3$ в исходном показателе не влияет на ответ — важна только основная часть $x$.

5. 5

   Объединяем результаты.

   $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+3}{x-1}\right)^{x+3}=e^{4}\cdot 1=e^{4}\approx 54.598.$

6. 6

   Проверим численно. При $x=10^{6}$ значение выражения равно $54.59859$, а $e^{4}=54.59815$ — совпадение до четырёх значащих цифр, причём разница убывает как $1/x$, что и ожидалось.