Найти ряд Тейлора функции 3 sin(x)/cos²(x) + sin(2x) в точке x = 0 до члена степени 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Превращаем частное в произведение известных рядов. Многократно дифференцировать $3\sin x/\cos^2 x$ напрямую мучительно, поэтому запишем функцию как $3\sin x\cdot\sec^{2}x$ и воспользуемся двумя стандартными разложениями Маклорена: $\sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+O(x^{7}),\qquad \sec^{2}x=1+x^{2}+\frac{2}{3}x^{4}+O(x^{6}).$

2. 2

   Перемножаем, оставляя только члены до x^5. Собираем произведения, суммарная степень которых не превосходит $5$: $x\cdot 1=x$; $x\cdot x^{2}=x^{3}$; $-\frac{x^{3}}{6}\cdot 1=-\frac{x^{3}}{6}$; $x\cdot\frac23x^{4}=\frac23x^{5}$; $-\frac{x^{3}}{6}\cdot x^{2}=-\frac{x^{5}}{6}$; $\frac{x^{5}}{120}\cdot 1=\frac{x^{5}}{120}$. Отсюда $\sin x\,\sec^{2}x=x+\frac56x^{3}+\left(\frac23-\frac16+\frac1{120}\right)x^{5}+O(x^{6})=x+\frac56x^{3}+\frac{61}{120}x^{5}+O(x^{6}).$

3. 3

   Умножаем на 3. Домножая всё разложение, получаем $\frac{3\sin x}{\cos^{2}x}=3x+\frac{5}{2}x^{3}+\frac{61}{40}x^{5}+O(x^{6}).$

4. 4

   Раскладываем второе слагаемое подстановкой. Заменяя $x$ на $2x$ в ряде синуса, $\sin(2x)=2x-\frac{(2x)^{3}}{6}+\frac{(2x)^{5}}{120}+O(x^{7})=2x-\frac43x^{3}+\frac{4}{15}x^{5}+O(x^{7}).$

5. 5

   Складываем два ряда почленно. Члены с $x$ дают $3+2=5$; члены с $x^{3}$ дают $\frac52-\frac43=\frac{15-8}{6}=\frac76$; члены с $x^{5}$ дают $\frac{61}{40}+\frac{4}{15}=\frac{183+32}{120}=\frac{215}{120}=\frac{43}{24}$. Остаются только нечётные степени, как и должно быть у нечётной функции $f$.

6. 6

   Проверяем многочлен численно. Значения $f(x)-\left(5x+\frac76x^{3}+\frac{61}{24}x^{5}\right)$ при $x=0.01,\,0.02,\,0.05$ равны $-7.5\times10^{-11}$, $-2.40\times10^{-9}$ и $-2.34\times10^{-7}$; после деления каждого на $x^{7}$ получается примерно одна и та же константа, что подтверждает порядок погрешности $O(x^{7})$ и отсутствие потерянных младших членов.