Определите, сходится ли сумма 1/(1 + n (ln n)^2) при n от 1 до бесконечности, и оцените её значение.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим отдельно первый член. При $n=1$ имеем $\ln 1=0$, поэтому первый член равен $\dfrac{1}{1+0}=1$. Интересное поведение начинается с $n=2$, поэтому можно записать:

   $S=1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{1+n\left(\ln n\right)^{2}}$

2. 2

   Сравним с рядом Бертрана. Для $n\ge 2$ слагаемое $+1$ только увеличивает знаменатель, поэтому

   $0<\frac{1}{1+n\left(\ln n\right)^{2}}<\frac{1}{n\left(\ln n\right)^{2}}$

   Известно, что ряд $\sum_{n\ge 2}\dfrac{1}{n(\ln n)^{p}}$ сходится тогда и только тогда, когда $p>1$. Здесь $p=2$, значит, сравниваемый ряд сходится, а значит, и данный ряд тоже сходится.

3. 3

   Поясним, почему порог $p>1$. Подстановка $u=\ln x$ в интегральном признаке даёт:

   $\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}=\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{du}{u^{2}}=\frac{1}{\ln 2}$

   Интеграл конечен, так как показатель степени $u$ больше 1. Если бы $p=1$, та же подстановка дала бы $\int du/u$, который расходится — это классический граничный случай.

4. 4

   Примем, что элементарной суммы не существует. В отличие от $\sum 1/n^{2}=\pi^{2}/6$, для этого ряда не существует выражения через стандартные константы, поэтому честный ответ — это вывод о сходимости и численное значение.

5. 5

   Оценим сумму через интеграл для хвоста, а не по частичной сумме. Сходимость очень медленная: хвост после $N$ членов можно оценить как

   $\int_{N}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}=\frac{1}{\ln N}$

   При $N=10^{7}$ частичная сумма равна $2{,}42985$, но хвост ещё $0{,}06204$ — если остановиться здесь и записать $2{,}43$ (или $2{,}42$), это занижает ответ более чем на $2\%$.

6. 6

   Сложим частичную сумму и хвост. Складывая эти две части при разных $N$, получаем устойчивое значение:

   $N=10^{4}:\ 2{,}38332+0{,}10857=2{,}49189,\qquad N=10^{7}:\ 2{,}42985+0{,}06204=2{,}49189$

   Значит,

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+n\left(\ln n\right)^{2}}\approx 2{,}4919$

   Совпадение на трёх порядках $N$ подтверждает надёжность оценки.