Найдите ряд Тейлора функции f(x) = ln(√(x² + 1) + x) в окрестности x = 0. Приведите несколько первых ненулевых членов, формулу общего члена и промежуток сходимости.

Step-by-step solution

1. 1

   Узнаём функцию до того, как что-либо дифференцировать. Выражение $\ln\!\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ — это стандартная логарифмическая форма ареасинуса гиперболического:

   $\operatorname{arsinh}x=\ln\!\left(x+\sqrt{x^2+1}\right),$

   то есть $f(x)=\operatorname{arsinh}x$. Это важно: считать $f^{(n)}(0)$ прямо из логарифма мучительно, а у $\operatorname{arsinh}$ производная очень простая. Всякий раз, когда разложение в ряд Маклорена выглядит неприятно, проверьте, не окажется ли удобной именно производная.

2. 2

   Дифференцируем один раз и смотрим, как логарифм схлопывается. По правилу дифференцирования сложной функции

   $f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+1\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\cdot\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}.$

   Скобка $x+\sqrt{x^2+1}$ в точности сокращается со знаменателем, и остаётся

   $f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=(1+x^2)^{-1/2}.$

   Именно из-за этого сокращения задача и оказывается лёгкой.

3. 3

   Раскладываем производную биномиальным рядом. При $|t|<1$

   $(1+t)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}t^{n}.$

   Полагаем $t=x^{2}$ и $\alpha=-\tfrac12$:

   $(1+x^2)^{-1/2}=1-\frac12x^2+\frac38x^4-\frac{5}{16}x^6+\frac{35}{128}x^8-\cdots$

   Встречаются только чётные степени, а значит у $f$ будут только нечётные — это согласуется с тем, что $f$ — нечётная функция.

4. 4

   Интегрируем почленно, пользуясь тем, что $f(0)=0$. Так как $f(0)=\ln 1=0$, имеем $f(x)=\int_0^x f'(t)\,dt$, а степенной ряд внутри радиуса сходимости можно интегрировать почленно:

   $f(x)=x-\frac12\cdot\frac{x^3}{3}+\frac38\cdot\frac{x^5}{5}-\frac{5}{16}\cdot\frac{x^7}{7}+\frac{35}{128}\cdot\frac{x^9}{9}-\cdots$

   $f(x)=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{3x^{5}}{40}-\frac{5x^{7}}{112}+\frac{35x^{9}}{1152}-\cdots$

5. 5

   Выписываем общий член. Интегрирование $\binom{-1/2}{n}x^{2n}$ даёт $\binom{-1/2}{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$, а $\binom{-1/2}{n}=(-1)^n\frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}$, поэтому

   $\ln\!\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}\,x^{2n+1}.$

   Проверим два первых коэффициента: при $n=0$ получаем $x$, при $n=1$ — $-\frac{2}{4\cdot 1\cdot 3}x^3=-\frac{x^3}{6}$. ✓

6. 6

   Определяем промежуток сходимости и проверяем ответ численно. Биномиальный ряд для $(1+x^2)^{-1/2}$ требует $|x^2|<1$, то есть $|x|<1$; при $x=\pm1$ члены проинтегрированного ряда имеют порядок $\sim n^{-3/2}$ и ряд сходится абсолютно, так что промежуток — $[-1,1]$. Численная проверка при $x=0.2$: пять выписанных членов дают $0.198690110\ldots$ против $\operatorname{arsinh}(0.2)=0.198690110\ldots$ ✓