Даны A = x i + y j − z k и B = 3x i + 2y j + z k. Найдите смешанную вторую производную A × B сначала по y, затем по x, в точке (1, 2, 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала вычислим векторное произведение, затем производные. Производные по компонентам можно брать только после раскрытия компонент, поэтому сначала вычислим определитель:

   $\vec A\times\vec B=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ x&y&-z\\ 3x&2y&z\end{vmatrix}$

   Альтернативный способ — воспользоваться правилом произведения $\partial_x(\vec A\times\vec B)=\partial_x\vec A\times\vec B+\vec A\times\partial_x\vec B$, но в данном случае он длиннее.

2. 2

   Раскроем определитель по компонентам.

   $\mathbf i:\ (y)(z)-(-z)(2y)=yz+2yz=3yz$
   $\mathbf j:\ -\big[(x)(z)-(-z)(3x)\big]=-\big[xz+3xz\big]=-4xz$
   $\mathbf k:\ (x)(2y)-(y)(3x)=2xy-3xy=-xy$

   Получаем:

   $\vec A\times\vec B=3yz\,\mathbf i-4xz\,\mathbf j-xy\,\mathbf k$

   Знак минус перед компонентой $\mathbf j$ появляется из-за кофактора — это частая ошибка при раскрытии определителя.

3. 3

   Возьмём производную по $x$, считая $y$ и $z$ константами.

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(3yz\,\mathbf i-4xz\,\mathbf j-xy\,\mathbf k\right)=0\,\mathbf i-4z\,\mathbf j-y\,\mathbf k$

   В компоненте $\mathbf i$ переменная $x$ не встречается, поэтому производная равна нулю.

4. 4

   Теперь берём производную результата по $y$.

   $\frac{\partial}{\partial y}\left(-4z\,\mathbf j-y\,\mathbf k\right)=0\,\mathbf j-1\,\mathbf k=-\mathbf k$

   Все оставшиеся слагаемые были линейными, поэтому вторая производная — постоянный вектор: ответ $-\mathbf k$ в любой точке, в том числе и в $(1,2,1)$. Координаты точки здесь не понадобились — это важно отметить.

5. 5

   Проверим по теореме Клеро, поменяв порядок дифференцирования. Если сначала продифференцировать по $y$, получится $3z\,\mathbf i-x\,\mathbf k$, затем по $x$ — $-\mathbf k$. Оба порядка дают один и тот же результат, как и должно быть для полиномиального (гладкого) векторного поля.