Найдите разложение функции 2^x в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Переходим от основания 2 к основанию e. Многократно дифференцировать $2^x$ неудобно, но любую показательную функцию можно переписать по основанию $e$, пользуясь равенством $a = e^{\ln a}$:

   $2^x = \left(e^{\ln 2}\right)^x = e^{x\ln 2}$

   Теперь задача сводится к уже известному ряду.

2. 2

   Подставляем в ряд экспоненты. Поскольку $e^{u} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{n!}$ при любом действительном $u$, положим $u = x\ln 2$:

   $2^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x\ln 2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 2)^n}{n!}\,x^n$

3. 3

   Убеждаемся, что коэффициенты совпадают с определением через производные. Коэффициент ряда Маклорена равен $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$, а $\frac{d^n}{dx^n}2^x = (\ln 2)^n 2^x$, что при $x = 0$ даёт $(\ln 2)^n$. Деление на $n!$ воспроизводит те же коэффициенты — короткий путь и определение согласуются.

4. 4

   Выписываем первые несколько членов. При $\ln 2 \approx 0.6931472$:

   $2^x = 1 + 0.693147\,x + 0.240227\,x^2 + 0.055504\,x^3 + 0.009618\,x^4 + \cdots$

   В отличие от $e^x$, у которого коэффициенты убывают лишь за счёт факториала, здесь убывание быстрее: множитель $\ln 2 < 1$ добавляет к каждому члену дополнительное затухание.

5. 5

   Указываем радиус сходимости. Ряд экспоненты сходится при любом действительном $u$, а величина $u = x\ln 2$ конечна всякий раз, когда конечно $x$, поэтому радиус бесконечен: разложение верно при всех $x \in \mathbb{R}$.

6. 6

   Делаем контрольную проверку при x = 1. Сумма первых восьми членов равна $1 + 0.693147 + 0.240227 + 0.055504 + 0.009618 + 0.001333 + 0.000154 + 0.000015 = 1.999999$, что и сходится к $2^1 = 2$, как и должно быть.