Решите дифференциальное уравнение dy/dx = y.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим уравнение и его смысл. Производная функции равна самой функции — это определяющее свойство экспоненциального роста. Уравнение разделяющееся, так как правая часть зависит только от $y$. Сразу заметим, что $y=0$ — частное решение: тогда обе части равны нулю; это решение потребуется восстановить в конце.

2. 2

   Разделим переменные. Предположим, что $y\neq0$. Разделим обе части на $y$ и умножим на $dx$:

   $\frac{1}{y}\,dy=dx$

3. 3

   Проинтегрируем обе части.

   $\int\frac{1}{y}\,dy=\int1\,dx\qquad\Longrightarrow\qquad \ln|y|=x+C$

   Модуль обязателен, так как $\ln$ отрицательного числа не определён — именно это позволяет получить отрицательные решения.

4. 4

   Преобразуем выражение, чтобы выразить y.

   $|y|=e^{x+C}=e^{C}e^{x}$

   Здесь $e^C$ — произвольная положительная константа.

5. 5

   Внесём знак в константу. Снятие модуля даёт $\pm$: $y=\pm e^{C}e^{x}$. Так как $\pm e^{C}$ пробегает все ненулевые действительные значения, обозначим это $C$:

   $y=Ce^{x}$

   Теперь, разрешая $C=0$, восстанавливаем и постоянное решение $y=0$, исключённое на шаге 2. Таким образом, это и есть общее решение.

6. 6

   Проверим подстановкой. Если $y=Ce^x$, то $\dfrac{dy}{dx}=Ce^x=y$ ✓ — уравнение выполняется при любом $C$. Проверка численно при $C=1{,}7$ и $x=-1,\,0{,}3,\,2{,}2$ показывает, что симметричная разностная производная совпадает с $y$ до семи знаков ✓.