Найти предел при x → 1 выражения (x² – 1)·tan(2x – 2) / sin²(x – 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим вид неопределённости. При $x = 1$ имеем: $x^2-1 = 0$, $\tan(2x-2) = \tan 0 = 0$, $\sin^2(x-1) = 0$, то есть выражение принимает вид $\dfrac{0 \cdot 0}{0}$ — это действительно неопределённость, и прямую подстановку применять нельзя.

2. 2

   Введём замену $u = x-1$, чтобы все функции были при малых $u$. Тогда $x = u+1$, $x^2 - 1 = (x-1)(x+1) = u(u+2)$, $2x-2 = 2u$, $x-1 = u$, и $u \to 0$:

   $\lim_{u\to 0}\frac{u(u+2)\tan(2u)}{\sin^2 u}$

   Такая замена — ключевой шаг: она позволяет использовать стандартные пределы для малых углов.

3. 3

   Перепишем выражение, используя стандартные пределы. Разобьём дробь так, чтобы каждый тригонометрический множитель стоял над своим аргументом:

   $\frac{u(u+2)\tan(2u)}{\sin^2 u} = (u+2)\cdot\underbrace{\frac{\tan(2u)}{2u}}_{\to\,1}\cdot 2 \cdot \underbrace{\left(\frac{u}{\sin u}\right)^{2}}_{\to\,1}$

   Здесь $u \cdot \dfrac{2u}{u^2} = \dfrac{2}{1}$ даёт множитель $2$, а пределы $\lim_{t\to0}\tfrac{\tan t}{t} = 1$ и $\lim_{u\to0}\tfrac{\sin u}{u} = 1$ стандартны.

4. 4

   Вычислим предел по множителям.

   $\lim_{u\to 0}(u+2) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2 \cdot 2 = 4$

5. 5

   Проверим результат с помощью разложений по малым. Для малых $u$ справедливо $\tan(2u) \approx 2u$, $\sin^2 u \approx u^2$, значит, вся дробь ведёт себя как $\dfrac{u(u+2)(2u)}{u^2} = 2(u+2)$, и при $u \to 0$ это стремится к $4$ — тот же ответ, но короче.

6. 6

   Проверим численно. При $u = 0.01$ (то есть $x = 1.01$): числитель $= 0.01 \times 2.01 \times \tan(0.02) = 0.01 \times 2.01 \times 0.0200027 = 0.000402054$, знаменатель $= \sin^2(0.01) = 0.0000999967$, частное $= 4.02067$. При $u = 0.001$ частное $4.002007$ — стремится к $4$, а символьный предел даёт ровно $4$.