Найти сумму ряда n/(n+1)! при n от 1 до бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Разбиваем числитель так, чтобы он согласовался со стоящим ниже факториалом. Загвоздка в том, что $n$ и $(n+1)!$ рассогласованы. Запись $n = (n+1) - 1$ это исправляет:

   $\frac{n}{(n+1)!} = \frac{(n+1) - 1}{(n+1)!} = \frac{n+1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+1)!}$

2. 2

   Упрощаем первую часть. Так как $(n+1)! = (n+1)\cdot n!$, множитель $(n+1)$ сокращается:

   $\frac{n+1}{(n+1)!} = \frac{1}{n!}$

   поэтому общий член превращается в разность обратных факториалов соседних номеров:

   $\frac{n}{(n+1)!} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}$

3. 3

   Выписываем частичную сумму и смотрим, как сокращается середина. Обозначив $a_n = \tfrac{1}{n!}$, получаем член вида $a_n - a_{n+1}$, поэтому

   $S_N = \sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}\right) = \frac{1}{1!} - \frac{1}{(N+1)!}$

   Каждое внутреннее слагаемое встречается ровно по одному разу с каждым знаком. Именно это делает ряд телескопическим, а не просто сходящимся.

4. 4

   Переходим к пределу. Факториалы растут быстрее любой степени, поэтому $\frac{1}{(N+1)!} \to 0$ и

   $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!} = \lim_{N\to\infty} S_N = 1$

5. 5

   Численная прикидка. Первые пять членов дают $\tfrac12 + \tfrac{2}{6} + \tfrac{3}{24} + \tfrac{4}{120} + \tfrac{5}{720} = 0.5 + 0.333333 + 0.125 + 0.033333 + 0.006944 = 0.998611$, а $1 - \tfrac{1}{6!} = 1 - 0.001389 = 0.998611$ в точности — ровно то, что даёт замкнутая формула для $S_5$.