Вычислить интеграл от 0 до π/2 от корня из 1 + tan²(0,8)·sin²(β) по β.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим стандартную форму. Полный эллиптический интеграл второго рода записывается так:

   $E(m)=\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-m\sin^{2}\theta}\;d\theta$

   Чтобы привести $\sqrt{1-m\sin^{2}\beta}$ к виду $\sqrt{1+\tan^{2}(0.8)\sin^{2}\beta}$, требуется $-m=\tan^{2}(0.8)$, то есть $m=-\tan^{2}(0.8)$. Это отрицательный параметр, что допустимо и просто означает, что подынтегральная функция больше $1$, а не меньше.

2. 2

   Вычислим параметр:

   $\tan(0.8)\approx1.02963856,\qquad\tan^{2}(0.8)\approx1.06015556$

   Следовательно, $m\approx-1.06015556$ и $I=E\left(-1.06015556\right)$. Заметим, что этот интеграл не выражается через элементарные функции — именно поэтому он и выделен в отдельный класс.

3. 3

   Преобразуем к положительному параметру (это не обязательно, но наглядно). Вынесем множитель за знак корня:

   $\sqrt{1+k^{2}\sin^{2}\beta}=\sqrt{1+k^{2}}\,\sqrt{1-\frac{k^{2}}{1+k^{2}}\cos^{2}\beta}$

   где $k^{2}=\tan^{2}(0.8)$, так что $I=\sqrt{1+k^{2}}\;E\!\left(\tfrac{k^{2}}{1+k^{2}}\right)$. Теперь $\tfrac{k^{2}}{1+k^{2}}\approx0.51460$ лежит в $[0,1]$, а $\sqrt{1+k^{2}}\approx1.435324$.

4. 4

   Оценим значение интеграла до вычислений. Подынтегральная функция принимает значения от $1$ при $\beta=0$ до $\sqrt{1+k^{2}}\approx1.4353$ при $\beta=\tfrac\pi2$. Умножая на длину отрезка $\tfrac\pi2\approx1.5708$, получаем, что интеграл лежит между $1.5708$ и $2.2546$ — значит, любой результат вне этого диапазона сразу неверен.

5. 5

   Выполним численное вычисление. Три независимых метода — правило трапеций с $4\times10^{6}$ узлами, квадратура Гаусса–Лежандра на $200$ узлах и та же квадратура для преобразованной формы с положительным параметром — дают одинаковый результат:

   $I\approx1.9280090$

   Это значение уверенно попадает в ранее найденный интервал ✓. Следует быть внимательным: в некоторых источниках встречается близкое, но ошибочное значение $1.92274$, которое отличается уже в третьем знаке после запятой и не согласуется с результатами всех трёх методов.