Найдите частное решение дифференциального уравнения f''(x) = 2, удовлетворяющее условиям f'(2) = 5 и f(2) = 10.

Step-by-step solution

1. 1

   План интегрирования и появления констант. Задана вторая производная, поэтому для восстановления $f$ потребуется два интегрирования — каждое даст по одной произвольной константе. Именно поэтому в условии даны два начальных условия: каждое из них позволит определить свою константу. Интегрировать будем по цепочке $f''\to f'\to f$, определяя константы по мере их появления.

2. 2

   Первое интегрирование — получаем $f'$. Первообразная для постоянной $2$ равна $2x$:

   $f'(x)=\int 2\,dx=2x+C_{1}$

3. 3

   Используем $f'(2)=5$ для определения $C_{1}$. Подставим $x=2$:

   $f'(2)=2(2)+C_{1}=4+C_{1}$

   Приравнивая к $5$, получаем $C_{1}=1$, значит

   $f'(x)=2x+1$

   Определив $C_1$ сразу, избавляемся от лишних обозначений при следующем интегрировании.

4. 4

   Второе интегрирование — получаем $f$. Интегрируем $2x+1$ по частям:

   $f(x)=\int (2x+1)\,dx=x^{2}+x+C_{2}$

5. 5

   Используем $f(2)=10$ для определения $C_{2}$. Подставим $x=2$:

   $f(2)=2^{2}+2+C_{2}=6+C_{2}$

   Приравнивая к $10$, получаем $C_{2}=4$, значит частное решение:

   $f(x)=x^{2}+x+4$

6. 6

   Проверяем выполнение всех условий. Производные: $f'(x)=2x+1$, $f''(x)=2$ — уравнение выполняется. При $x=2$: $f'(2)=2(2)+1=5$, $f(2)=4+2+4=10$. Оба начальных условия выполняются.