Вычислить предел при x→1 (3x³ – 2x – 1) / (5x² + 3x – 8).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала подставим значение, чтобы определить вид предела. Как правило, первым шагом выполняется прямая подстановка:

   $3(1)^3-2(1)-1=0,\qquad 5(1)^2+3(1)-8=0$

   Получается $\tfrac{0}{0}$ — это не ответ, а признак того, что у данных многочленов есть общий множитель.

2. 2

   Используем теорему о корне многочлена. Если $p(1)=0$, то многочлен $p$ делится на $x-1$. Оба наших многочлена обращаются в ноль при $x=1$, значит, оба содержат множитель $x-1$. Разделим числитель на $x-1$:

   $3x^3-2x-1=(x-1)(3x^2+3x+1)$

   Проверим раскрытием скобок: $3x^3+3x^2+x-3x^2-3x-1=3x^3-2x-1$ — всё верно.

3. 3

   Аналогично разложим знаменатель.

   $5x^2+3x-8=(x-1)(5x+8)$

   Проверим: $5x^2+8x-5x-8=5x^2+3x-8$. Оба разложения точны, никаких приближений не использовалось.

4. 4

   Сократим общий множитель — и объясним, почему это допустимо. Предел при $x\to 1$ рассматривает только значения $x\neq 1$, а для $x\neq 1$ множитель $x-1$ отличен от нуля, его можно сократить:

   $\frac{(x-1)(3x^2+3x+1)}{(x-1)(5x+8)}=\frac{3x^2+3x+1}{5x+8}$

   Полученная функция отличается от исходной только в точке $x=1$, которую предел не учитывает.

5. 5

   Подставим снова в упрощённую дробь. Теперь знаменатель не обращается в ноль ($5+8=13\neq 0$), поэтому подстановка допустима:

   $\lim_{x\to 1}\frac{3x^2+3x+1}{5x+8}=\frac{3+3+1}{5+8}=\frac{7}{13}$

6. 6

   Проверим результат численно. При $x=1{,}001$ исходная дробь даёт $0{,}53895$, а при $x=0{,}999$ — $0{,}53798$; обе величины окружают $\tfrac{7}{13}=0{,}53846$, значит, предел подтверждён с обеих сторон.