Укажите форму неопределённости предела (e^x + x)^{1/x} при x → 0 и вычислите его по правилу Лопиталя.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим форму неопределённости. При $x\to 0$ основание $e^x + x \to 1$, а показатель $\tfrac{1}{x} \to \pm\infty$. Таким образом, получаем форму $1^{\infty}$ — это неопределённость, так как основание чуть больше $1$, возводимое в очень большую степень, может стремиться к любому значению. Это не просто $1$.

2. 2

   Преобразуем степень в дробь с помощью логарифмирования. Обозначим предел через $L$ и положим $y = (e^x+x)^{1/x}$:

   $\ln y = \frac{\ln(e^{x}+x)}{x}$

   При $x\to 0$ числитель $\to \ln 1 = 0$, знаменатель $\to 0$, то есть теперь это форма $\tfrac{0}{0}$, и можно применять правило Лопиталя.

3. 3

   Продифференцируем числитель и знаменатель. В числителе используется цепное правило:

   $\frac{d}{dx}\ln(e^x+x) = \frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}, \qquad \frac{d}{dx}x = 1$

4. 4

   Подставим $x = 0$ в новую дробь. Теперь неопределённости нет:

   $\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x} = \frac{1+1}{1+0} = \frac{2}{1} = 2$

   Значит, $\ln L = 2$.

5. 5

   Возвращаемся к исходному выражению, избавляясь от логарифма. Этот шаг часто забывают, оставляя ответ $2$:

   $L = e^{2} \approx 7.389056$

6. 6

   Проверим численно с обеих сторон. При $x = 0.001$: $e^{0.001}+0.001 = 1.0020005$, и $1.0020005^{1000} = 7.378$. При $x = -0.001$: $e^{-0.001}-0.001 = 0.9980005$, и $0.9980005^{-1000} = 7.400$. Оба значения окружают $e^2 = 7.38906$ ✓, а символьное вычисление предела даёт ровно $e^2$.