Найдите предел при n → ∞ выражения (3n² − 4n + 9)/(n² + 32n + 48) − корень из (n² + n + 18).

Step-by-step solution

1. 1

   Разделим выражение и рассмотрим каждую часть отдельно. Поведение двух слагаемых принципиально различается, поэтому неопределённости здесь нет — важно это заметить сразу, а не пытаться применять, например, правило Лопиталя или умножение на сопряжённое.

2. 2

   Исследуем предел рациональной части. Разделим числитель и знаменатель на $n^2$: $\frac{3n^2-4n+9}{n^2+32n+48} = \frac{3-\tfrac4n+\tfrac{9}{n^2}}{1+\tfrac{32}{n}+\tfrac{48}{n^2}} \longrightarrow \frac{3}{1} = 3.$ Степени числителя и знаменателя совпадают, значит, предел равен отношению старших коэффициентов.

3. 3

   Исследуем поведение корня. Вынесем $n^2$ из-под знака корня: $\sqrt{n^2+n+18} = n\sqrt{1+\tfrac1n+\tfrac{18}{n^2}} \sim n \cdot 1 = n \to +\infty,$ так как $|n|=n$ при $n\to+\infty$. Более точно, это $n+\tfrac12+O(1/n)$.

4. 4

   Объединим оба результата. Получается: (что-то, стремится к $3$) минус (что-то, стремится к $+\infty$). Конечное число минус бесконечно большое даёт $3-(+\infty) = -\infty$. Это определённая форма, а не неопределённость.

5. 5

   Проверим численно. При $n=10^6$ рациональная часть равна $2{,}99990$, а корень — $1{,}000{,}000.5000$, разность примерно $-999{,}997.5$ — уже хорошо видно, что выражение уходит примерно как $-n$.

6. 6

   Запишем окончательный ответ. $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n^2-4n+9}{n^2+32n+48}-\sqrt{n^2+n+18}\right) = -\infty,$ а асимптотика выражения — $-n+2.5$.