Пусть функции f и g дифференцируемы сколь угодно много раз. Докажите, что n-я производная F = fg равна сумме по j от 0 до n: C(n, j) f^(n-j) g^(j).

Step-by-step solution

1. 1

   Проводим доказательство по индукции. Формулировка утверждения дана для любого натурального $n$, поэтому сначала докажем его для $n=1$, а затем покажем, что верность для $n$ влечёт верность для $n+1$. Структурное сходство с биномиальной формулой подсказывает, что здесь пригодится правило Паскаля.

2. 2

   База индукции: n = 1. Правая часть формулы принимает вид

   $\binom10 f'g+\binom11 fg'=f'g+fg'$

   что совпадает с обычным правилом произведения, значит, формула верна при $n=1$.

3. 3

   Пусть формула верна при n, продифференцируем ещё раз. Применяя правило произведения к каждому слагаемому индуктивного предположения, получаем:

   $F^{(n+1)}=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}\left[f^{(n-j+1)}g^{(j)}+f^{(n-j)}g^{(j+1)}\right]$

   В результате выражение разбивается на две суммы: в одной дополнительная производная берётся от $f$, в другой — от $g$.

4. 4

   Переобозначим индексы во второй сумме для согласования. Подставляя $k=j+1$ во второй сумме, получаем $\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}f^{(n+1-k)}g^{(k)}$. Переименуем $k$ обратно в $j$ — теперь обе суммы содержат множитель $f^{(n+1-j)}g^{(j)}$:

   $F^{(n+1)}=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}f^{(n+1-j)}g^{(j)}+\sum_{j=1}^{n+1}\binom{n}{j-1}f^{(n+1-j)}g^{(j)}$

5. 5

   Объединяем слагаемые с помощью правила Паскаля. Для $1\le j\le n$ коэффициент при $f^{(n+1-j)}g^{(j)}$ равен

   $\binom{n}{j}+\binom{n}{j-1}=\binom{n+1}{j}$

   Краевые члены тоже совпадают: при $j=0$ коэффициент $\binom{n}{0}=1=\binom{n+1}{0}$, а при $j=n+1$ — $\binom{n}{n}=1=\binom{n+1}{n+1}$.

6. 6

   Делаем вывод по индукции.

   $F^{(n+1)}=\sum_{j=0}^{n+1}\binom{n+1}{j}f^{(n+1-j)}g^{(j)}$

   Это и есть исходная формула, где $n$ заменено на $n+1$. По принципу математической индукции формула верна для любого натурального $n$:

   $\boxed{F^{(n)}=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}f^{(n-j)}g^{(j)}}$

7. 7

   Проверим случай n = 2 явно. Формула предсказывает $F''=f''g+2f'g'+fg''$. Если продифференцировать $F'=f'g+fg'$ вручную, получаем $f''g+f'g'+f'g'+fg''=f''g+2f'g'+fg''$ — коэффициенты $1,2,1$ совпадают со второй строкой треугольника Паскаля, как и ожидалось по аналогии с биномиальной формулой.