Найдите производную функции y = x².

Step-by-step solution

1. 1

   Определим вид функции. $y=x^2$ — это одна степень $x$ с постоянным показателем, то есть ровно тот случай, для которого создано правило степени. Ни правило произведения, ни правило частного, ни цепное правило здесь не нужны.

2. 2

   Сформулируем правило степени. Для любого постоянного показателя $n$

   $\frac{d}{dx}x^n=n\,x^{\,n-1}$

   Показатель становится коэффициентом, а новый показатель на единицу меньше.

3. 3

   Применим его при n = 2.

   $\frac{d}{dx}x^2=2\,x^{2-1}=2x^1=2x$

4. 4

   Подтвердим результат определением через предел. Именно отсюда и берётся двойка:

   $\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h$

   Устремив $h\to0$, получаем $2x$ ✓. Перекрёстное слагаемое $2xh$ из разложения бинома — единственный источник этого коэффициента.

5. 5

   Истолкуем результат геометрически. Производная $2x$ говорит, что наклон параболы равен $0$ в вершине $x=0$, отрицателен слева и положителен справа, причём растёт линейно — что в точности соответствует форме графика $y=x^2$.

6. 6

   Сделаем выборочную численную проверку. При $x=2.5$ формула предсказывает наклон $5$; симметричное разностное отношение $\frac{f(2.5001)-f(2.4999)}{0.0002}=5.0000$ ✓.