Найти dy/dx для кривой 20x²⁰y + y⁸ = 33 − 30x⁶.

Step-by-step solution

1. 1

   Считаем $y$ неизвестной функцией от $x$. Неявное дифференцирование — это дифференцирование обеих частей по $x$ с учётом того, что каждый $y$ на самом деле есть $y(x)$. Поэтому каждый продифференцированный $y$ оставляет после себя множитель $\dfrac{dy}{dx}$ по цепному правилу — именно на этом и держится весь метод.

2. 2

   Смешанное слагаемое дифференцируем по правилу произведения. $20x^{20}y$ — произведение двух зависящих от $x$ множителей:

   $\frac{d}{dx}\left(20x^{20}y\right)=20\left(20x^{19}y+x^{20}\frac{dy}{dx}\right)=400x^{19}y+20x^{20}\frac{dy}{dx}$

   Типичная ошибка здесь — продифференцировать только степень и оставить одно $400x^{19}y$.

3. 3

   Дифференцируем слагаемое с одним $y$ и правую часть.

   $\frac{d}{dx}\left(y^{8}\right)=8y^{7}\frac{dy}{dx},\qquad \frac{d}{dx}\left(33-30x^{6}\right)=-180x^{5}$

   Константа $33$ вклада не даёт.

4. 4

   Собираем продифференцированное уравнение.

   $400x^{19}y+20x^{20}\frac{dy}{dx}+8y^{7}\frac{dy}{dx}=-180x^{5}$

5. 5

   Переносим слагаемые с $\frac{dy}{dx}$ в одну часть и выносим за скобку.

   $\left(20x^{20}+8y^{7}\right)\frac{dy}{dx}=-180x^{5}-400x^{19}y$

   Вынести за скобку удаётся всегда, потому что $\frac{dy}{dx}$ входит только в первой степени: неявное дифференцирование полиномиального соотношения всегда линейно относительно $\frac{dy}{dx}$.

6. 6

   Делим и упрощаем.

   $\frac{dy}{dx}=\frac{-180x^{5}-400x^{19}y}{20x^{20}+8y^{7}}=\frac{-45x^{5}-100x^{19}y}{5x^{20}+2y^{7}}$

   Числовая проверка: при $x=0.9$ кривая даёт $y=1.38685$, а формула возвращает $-2.2271533$, что совпадает с численной производной неявно заданной функции $y(x)$ до девятого знака ✓. В ответе законно присутствуют и $x$, и $y$ — так у неявных производных бывает почти всегда.