Докажите, что если f монотонна, неотрицательна и неограниченна на [a, +∞), то её несобственный интеграл от a до бесконечности обязательно расходится.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим, что означает сочетание «монотонная + неограниченная». Монотонная функция на $[a,\infty)$ бывает либо неубывающей, либо невозрастающей. Если функция невозрастающая, начинается с $f(a)$ и остаётся $\ge 0$, то она ограничена сверху $f(a)$ и снизу $0$, то есть ограничена. Следовательно, требование неограниченности исключает этот случай: функция $f$ обязательно неубывающая, причём $f(x)\to+\infty$.

2. 2

   Выберем удобный порог. Так как $f(x)\to+\infty$, найдётся такое $b\ge a$, что

   $f(b)\ge 1$

   А благодаря неубыванию $f(x)\ge 1$ для всех $x\ge b$. Константа $1$ выбрана для удобства — подойдёт любое положительное число.

3. 3

   Сравним интеграл на хвосте. Для любого $T>b$ по монотонности функции получаем

   $\int_{b}^{T}f(x)\,dx\ge \int_{b}^{T}1\,dx=T-b$

4. 4

   Пусть T стремится к бесконечности. Правая часть $T-b\to+\infty$, значит, $\int_{b}^{T}f\to+\infty$. Прибавление конечного участка $\int_{a}^{b}f$ (он конечен, так как $f$ монотонна, а значит интегрируема на ограниченном промежутке $[a,b]$) не меняет этого:

   $\int_{a}^{T}f(x)\,dx\to+\infty\quad\text{при }T\to+\infty$

   $\boxed{\text{Несобственный интеграл расходится}}$

5. 5

   Проверим необходимость каждого условия. Если убрать неограниченность, утверждение неверно: $f(x)=\tfrac{1}{x^{2}}$ на $[1,\infty)$ — монотонная, неотрицательная и ограниченная функция, её интеграл сходится к $1$. Если убрать монотонность, тоже не работает: неотрицательная неограниченная функция, построенная из всё более высоких и всё более узких «шипов» (высота $n$, ширина $2^{-n}n^{-1}$ около $x=n$), даёт суммарную площадь $\sum 2^{-n}<\infty$. Значит, оба условия действительно необходимы.

6. 6

   Отметим отличие от случая с рядами. Аналогичное утверждение для последовательностей тривиально — неограниченная неотрицательная последовательность не может иметь $a_n\to 0$, поэтому $\sum a_n$ расходится по признаку члена. Для интегралов такого признака нет (функция может не стремиться к нулю, но интеграл сходится), поэтому монотонность приходится явно требовать.