Вычислите интеграл от sin(x)/sin²(4 cos(x)) dx.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем внутреннюю функцию и её производную. Неудобная часть — сложная функция $\sin^{2}(4\cos x)$, внутренняя функция которой равна $4\cos x$. Её производная равна $-4\sin x$, а множитель $\sin x$ уже стоит в числителе, поэтому замена $u=4\cos x$ полностью «расчистит» интеграл.

2. 2

   Выполняем замену. Из $u=4\cos x$ получаем $du=-4\sin x\,dx$, откуда $\sin x\,dx=-\frac14\,du$, и $\int\frac{\sin x}{\sin^{2}(4\cos x)}\,dx=-\frac14\int\frac{du}{\sin^{2}u}=-\frac14\int\csc^{2}u\,du .$

3. 3

   Применяем табличную первообразную для квадрата косеканса. Так как $\frac{d}{du}\cot u=-\csc^{2}u$, имеем $\int\csc^{2}u\,du=-\cot u+C$, поэтому $-\frac14\int\csc^{2}u\,du=\frac14\cot u+C .$

4. 4

   Возвращаемся к исходной переменной. Подставляя обратно $u=4\cos x$, получаем $\int\frac{\sin x}{\sin^{2}(4\cos x)}\,dx=\frac14\cot(4\cos x)+C .$

5. 5

   Проверяем дифференцированием. $\frac{d}{dx}\left[\frac14\cot(4\cos x)\right]=\frac14\left(-\csc^{2}(4\cos x)\right)\cdot(-4\sin x)=\frac{\sin x}{\sin^{2}(4\cos x)}$ — это исходное подынтегральное выражение, значит первообразная найдена верно на каждом промежутке, где $\sin(4\cos x)\ne 0$.