Найдите разложение функции e^x в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Выписываем шаблон, который предстоит заполнить. Ряд Тейлора функции $f$ в окрестности $x=0$ имеет вид

   $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$

   поэтому вся работа сводится к вычислению производных функции $f(x)=e^{x}$ в единственной точке $0$.

2. 2

   Дифференцируем многократно. Экспонента — неподвижная точка операции дифференцирования:

   $f'(x)=e^{x},\quad f''(x)=e^{x},\quad\ldots,\quad f^{(n)}(x)=e^{x}\ \text{при любом }n\ge 0$

   Именно поэтому разложение получается таким чистым: здесь нет ни чередования знаков, ни растущих коэффициентов, за которыми надо следить.

3. 3

   Вычисляем значения в центре разложения. Так как $e^{0}=1$,

   $f^{(n)}(0)=1\qquad\text{для всех }n\ge 0$

4. 4

   Подставляем в шаблон. Все числители равны $1$, поэтому коэффициент при $x^{n}$ равен просто $\dfrac{1}{n!}$:

   $e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots$

5. 5

   Находим радиус сходимости. По признаку Даламбера для соседних слагаемых

   $\left|\frac{x^{n+1}/(n+1)!}{x^{n}/n!}\right|=\frac{|x|}{n+1}\longrightarrow 0$

   при любом фиксированном $x$, поэтому ряд сходится абсолютно на всей $\mathbb{R}$ (радиус $R=\infty$).

6. 6

   Проверяем на одном значении. При $x=1$ частичные суммы $1,\ 2,\ 2.5,\ 2.6\overline{6},\ 2.708\overline{3},\ 2.71\overline{6}$ поднимаются к $e=2.71828\ldots$, что подтверждает равенство $e^{1}=\sum 1/n!$.