Представьте ln(x + √(a + x²)) через обратный гиперболический синус при a > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Отметим, чем отличается этот случай. Стандартная формула

   $\operatorname{arsinh}(u)=\ln\left(u+\sqrt{u^{2}+1}\right)$

   предполагает под корнем единицу. Здесь под корнем стоит $a$, а не $a^{2}$, поэтому нормализующий множитель — $\sqrt a$, а не $a$. Именно это влияет на добавляемую константу в конце.

2. 2

   Вынесем $a$ из-под корня. Для $a>0$:

   $\sqrt{x^{2}+a}=\sqrt{a\left(\frac{x^{2}}{a}+1\right)}=\sqrt a\,\sqrt{\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)^{2}+1}$

   Запишем $\dfrac{x^{2}}{a}=\left(\dfrac{x}{\sqrt a}\right)^{2}$, чтобы получить нужный вид.

3. 3

   Вынесем $\sqrt a$ из всего аргумента:

   $x+\sqrt{x^{2}+a}=\sqrt a\left(\frac{x}{\sqrt a}+\sqrt{\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)^{2}+1}\right)$

   В скобках теперь стоит аргумент формулы для арсинуса гиперболического при $u=\dfrac{x}{\sqrt a}$.

4. 4

   Разобьём логарифм произведения. По формуле $\ln(MN)=\ln M+\ln N$:

   $\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+a}\right)=\ln\sqrt a+\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)$

5. 5

   Упростим константу. Так как $\ln\sqrt a=\ln a^{1/2}=\tfrac12\ln a$,

   $\ln\left(x+\sqrt{a+x^{2}}\right)=\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)+\frac12\ln a$

   Для сравнения: если бы под корнем было $a^{2}$, добавка была бы $\ln a$ — показатель степени и логарифм уменьшились вдвое.

6. 6

   Проверим численно. При $a=2.7$, $x=1.3$: левая часть $\ln\left(1.3+\sqrt{2.7+1.69}\right)=1.2223723$, а $\operatorname{arsinh}\left(1.3/1.64317\right)+\tfrac12\ln 2.7=0.72575+0.49663=1.2223723$ ✓.