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Calculus questions asked by real students

Real calculus questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.

求 3cos 2x = 2ln(x − 1) 的全部解：三个数值根

方程恰有三个根：x ≈ 1.28378、2.49096 和 3.58430。当 x 超过 1 + e^1.5 ≈ 5.48 时对数项已大于 3，不可能再有交点。

分离变量法解 x' = 4tx²，别漏掉 x = 0

解为 x(t) = 1/(C − 2t²)，另外还有常数解 x = 0——它在两边同除以 x² 时被丢掉了。文中给出完整推导与验证。

分析阻尼余弦函数 f(x) = e^(−αx)·cos x

f(0) = 1，振荡周期为 2π，包络线为 y = ±e^(−αx)。α 的正负决定了振幅是衰减、保持不变还是发散增大。

cos²x 的不定积分怎么求：降幂公式一步化开

原函数是 x/2 + sin(2x)/4 + C。把 cos²x 改写成 (1 + cos2x)/2 就去掉了平方，只剩两个基本积分；顺带用链式法则求出导数 −sin2x。

用超几何函数求 1/(Dⁿ + Ka) 的 n 次方根的不定积分

原函数是 D(Ka)^(−1/n) ₂F₁(1/n, 1/n; 1 + 1/n; −Dⁿ/Ka) + C。先把 Ka 提到括号外，再用广义二项级数展开并逐项积分；n = 2 时退化为 arcsinh。

sin(a ln x)/xᵇ 怎么积分：换元 u = ln x 详解

结果是 x¹⁻ᵇ[(1−b)sin(a ln x) − a cos(a ln x)]/((1−b)² + a²) + C。作换元 u = ln x 后，它就变成课本上标准的「指数乘正弦」积分，直接套公式即可。

1/(2x+1) 的原函数：由 F(0)=0 定常数并求 F((e²−1)/2)

F(x) = (1/2)ln(2x+1)，F((e²−1)/2) = 1。先用换元 u = 2x+1 积出对数，再用 F(0) = 0 把积分常数定成 0，最后注意到 2x+1 恰好化成 e²。

抛物线 y = x² 与直线 y = x + 2 围成的面积怎么求

两条曲线交于 x = −1 与 x = 2，在这段区间上对 (x + 2) − x² 积分，围成的面积恰好是 9/2 个平方单位。关键是先定交点、再判断谁在上方。

用二重积分求 y = 4x − x² 与 y = x 围成的面积

面积是 9/2。先解出交点 x = 0 与 x = 3，把面积写成被积函数为 1、y 从 x 到 4x − x² 的二重积分，再对竖条高度 3x − x² 积分即可。

极坐标求两圆之间图形的面积：写出积分并算出结果

由 x² + y² = 7y、x² + y² = 9y 以及 y = x/√3、x = 0 围成的图形，面积是 8π/3 + 2√3 ≈ 11.84。一步步把边界化成极坐标、定出积分限再求值。

y = x³ 从 x=3 到 x=5 的平均变化率怎么求

平均变化率是 49。用 (f(5) − f(3))/(5 − 3) = (125 − 27)/2 计算，它是连接曲线上两点的割线斜率，不是某一点的导数。

巴塞尔问题：1/n² 从 n = 1 加到无穷等于多少

级数和是 π²/6，约 1.644934。它作为 p = 2 的 p 级数收敛；欧拉把 sin(x)/x 按零点写成无穷乘积，比较系数就得到了这个精确值。

解伯努利方程 3(1+t²)y′ = 2ty(y³−1)，换元法详细步骤

解是 1/y³ = 1 + C(1+t²)，另有平衡解 y ≡ 0。换元把这个伯努利方程化成一阶线性方程，积分因子取 1/(1+t²)，重点是 v 前的系数是负号。

(1 − x)^k 在 x = 0 处的泰勒展开：广义二项级数

答案是 Σ (−1)ⁿ C(k, n) xⁿ = 1 − kx + k(k−1)x²/2! − …，在 |x| < 1 内成立。展开式里每一个负号，都来自把 −x 代进二项级数时冒出来的 (−1)ⁿ。

判断 (x²−1)/(x²−3x+2) 的间断点：可去还是不可去

x = 1 是可去间断点，图像上是 (1, −2) 处的一个空心点；x = 2 是不可去间断点，对应一条垂直渐近线。关键是把分子分母都因式分解，看哪个零因式能约掉。

e 的 1 + 2i/n 次幂从 i = 1 加到 n 的求和闭式

和等于 e 的 (1 + 2/n) 次幂乘以 (e² − 1)/(e 的 (2/n) 次幂 − 1)。每一项都是前一项乘以固定公比，直接套有限等比数列求和公式就能写出闭式。

格林公式求 (eʸ+x)dx + (xeʸ−2y)dy 沿闭曲线的积分为 0

积分值是 0。用格林公式化成 ∂Q/∂x − ∂P/∂y 的二重积分，两个偏导都等于 eʸ，被积函数恒为零，所以闭路径的形状完全不影响结果。

证明级数 Σ sin(nx)/(n ln n) 在 x = 0 处连续

在 N = ⌊1/x⌋ 处把和拆成两段：前段用 |sin nx| ≤ nx 控制在 1/(√N ln 2) + 2/ln N 以内，后段用阿贝尔求和控制在 2π/ln(N + 1) 以内，x → 0 时两段都趋于 0。

级数 ∑ 1/(1 + n(ln n)²) 收敛吗：判别方法与数值和

它收敛，与贝特朗级数 1/(n(ln n)²) 作比较即可判定。这个和没有初等的闭式表达，数值约为 2.4919，而不是只看部分和得到的 2.42。

含对数的交错级数何时收敛：按 α 分成三档判定

α > 1 时绝对收敛，1/2 < α ≤ 1 时条件收敛，0 < α ≤ 1/2 时发散。关键是把 ln(1+x) 展开到二阶——那个恒为负、根本不变号的二阶项才是胜负手。

二重积分 sinx·siny/(x+y)ᵖ 何时收敛：p 的三种情形

p > 2 时绝对收敛，1 < p ≤ 2 时只是条件收敛，p ≤ 1 时发散。做换元 u = x + y 把二重积分化成两个一维反常积分，再对每条尾巴用狄利克雷判别法。

求 y = x³/3 + x² − 8x + 1 的临界值：令导数为零再分解

临界值是 x = −4 和 x = 2，较小的是 −4。求导得 y′ = x² + 2x − 8，把它分解成 (x + 4)(x − 2) = 0 就能一次解出两个根。

分析曲线 y = −2x²eˣ：极值点与两端走势

曲线永远不高于 x 轴，在 (−2, −8/e²) 约 −1.083 处取极小值，在原点取极大值 0；x → −∞ 时从下方趋近 0，x → +∞ 时急速跌向 −∞。

常数 1 从 0 到 2π 的定积分怎么算

答案是 2π，约 6.2832。被积函数是常数 1 时，积分量的其实就是区间长度，所以结果等于上限减下限；几何上就是高为 1 的矩形面积。

求 1.62482e^(−x/12.72238) + 2.85422 从 0 到 300 的定积分

答案是 876.93758，而不是常被引用的 876.93843。衰减项贡献 a·k = 20.67158，因为 e^(−23.58) 小到可以忽略；常数项贡献 856.266。

上下限颠倒的定积分：sin²x cos⁴x 从 π/8 积到 π/12

结果是 (7 − π − 3√3 − 2√2)/384 ≈ −0.010849。之所以是负数，只因为下限 π/8 比上限 π/12 大，把符号整体翻了过来。

用 Beta 函数求 √(x − x⁴) 从 0 到 1 的定积分

答案是 π/6，约 0.5235988。换元 u = x³ 把积分化成 B(1/2, 3/2)/3，再用 Gamma 函数的值精确得到 π/6，比数值积分更可靠。

定积分 ∫ 从 0 到 4 的 x dx 等于多少：幂函数法则求解

结果是 8。被积函数 x 就是 x¹，套幂函数法则得原函数 x²/2，再用牛顿-莱布尼茨公式代入上下限相减；还能用底 4 高 4 的直角三角形面积反过来验证。

定积分 ∫ 从 −2 到 2 的 (x²cos(x/2) + 1/2)√(4 − x²) 怎么算

积分值约为 7.9339103333。在加号处把被积函数拆成两半：带 √(4 − x²) 的那半是半径 2 的半圆面积 2π；另一半是贝塞尔矩，把泊松积分对参数求两次导即得 16π(J₂(1) − J₃(1))。

两次分部积分求 x²e⁻ˣ 在 0 到 1 上的定积分

精确值是 2 − 5/e ≈ 0.160603。两轮分部积分把多项式的次数从 2 降到 0，得到原函数 −(x²+2x+2)e⁻ˣ，再代入上下限相减即可。

定积分 x² + 3 从 0 到 1 怎么算：幂法则加牛顿-莱布尼茨公式

答案是 10/3，约 3.3333。逐项积分得到原函数 x³/3 + 3x，再用牛顿-莱布尼茨公式：上限 1 处的值是 10/3，下限 0 处的值是 0。

求定积分 x² sin x 从 0 到 2 的精确值

结果是 4 sin 2 − 2 cos 2 − 2，约等于 2.4695。积分限不是 π 的整数倍，所以正弦项和余弦项不会消掉，会留在精确答案里。

两次分部积分算 x²sin x 在 0 到 π 上的定积分

结果是 π² − 4，约 5.8696。取 u = x² 做分部积分把多项式次数降到一次，再做一次就收尾；π 和 0 处的正弦项都为零，代入很干净。

利用奇偶性和半圆面积秒算 −2 到 2 上的定积分

积分结果恰好等于 π。x³cos(x/2)√(4 − x²) 是奇函数，在对称区间上积分为 0；剩下那一块是半径为 2 的半圆面积。

用朗伯 W 函数解时滞微分方程 f′(x) = f(x − 1)

指数解形如 f(x) = C 乘以 e 的 rx 次幂，其中 r 满足「r 乘 e 的 r 次幂等于 1」，即 r = W(1) ≈ 0.567143。单位时滞让特征方程变成了超越方程。

x³ − 3x² + 2x 的导数与它在 [0, 3] 上的定积分

导数是 3x² − 6x + 2，从 0 到 3 的定积分等于 9/4。先用幂函数求导法则，再用微积分基本定理算出这块有向面积。

y = 2cos x 的定义域与导数怎么求：常数倍法则实例

定义域是全体实数 R，导数是 y′ = −2sin x。用常数倍法则把 2 提到求导号外，再套 cos x 的导数为 −sin x，重点提醒别丢那个负号，最后用数值差分和极值位置双重验证。

求 10x³ − x² + 4x − 15 的导数，并解 y′ = 0

y′ = 30x² − 2x + 4，而 y′ = 0 没有实数解，因为判别式 1 − 120 = −119 < 0。所以这条曲线处处没有水平切线，也不存在任何极值点。

求 2e³ˣ 的导数：链式法则多带出一个因子 3

导数是 6e³ˣ。指数函数求导后还是它自己，链式法则贡献内层导数 3，而常数 2 全程原封不动地跟着走。

用导数定义证明 2x³ − 1 的导数是 6x²

答案是 6x²。展开 (x+h)³、约掉常数项，再除以 h，剩下 6x² + 6xh + 2h²，令 h 趋于 0 就得到 6x²。

求 h(x) = (2x + 1)⁵(x² − 1)³ 的导数：乘法法则配两次链式法则

导数是 10(2x+1)⁴(x²−1)³ + 6x(2x+1)⁵(x²−1)²，选 B。两次链式法则各带出一个内层导数：2x + 1 带出 2，x² − 1 带出 2x，漏掉就会误选 A。

求 h(x) = (2x + 1)⁵(x² − 1)³ 的导数并因式分解

导数是 h′(x) = 2(2x + 1)⁴(x² − 1)²(11x² + 3x − 5)。先用乘积法则，对每个幂次再用链式法则，最后把公因式 (2x + 1)⁴(x² − 1)² 提出来。

用乘积法则求 3sin(4x³+5)·√(5(4x+5/x)) 的导数

导数是 36x²cos(4x³+5)√(5(4x+5/x)) 加上 3sin(4x³+5)(20 − 25/x²)/(2√(5(4x+5/x)))。先用乘积法则拆成两块，两块各自再用一次链式法则。

用链式法则求 y = 5cos(3x²) 的导数

答案是 dy/dx = −30x sin(3x²)。外层余弦贡献 −sin（括号里原封不动），内层 3x² 贡献 6x，与常数 5 一起并成系数 −30。

商法则求导：eˣ·ln(x²+1)/(√(sin x)+2) 的导数怎么算

先按商法则拆成分子分母，分子用乘积法则配 ln 的链式法则，分母把 √(sin x) 写成 (sin x) 的 1/2 次幂求导，最后提出公因子 eˣ 化简，并说明定义域为什么要求 sin x > 0。

用链式法则求 y = arcsin(x⁴) 的导数并化简

导数是 4x³/√(1 − x⁸)。反正弦求导给出 1/√(1 − u²)，其中 u = x⁴；链式法则再乘上 u′ = 4x³；而 (x⁴)² 要化成 x⁸，不是 x¹⁶。

arctan(e^(−a/2)) 的导数：链式法则加指数化简

答案是 dy/da = −e^(−a/2)/(2(1 + e^(−a)))，也可写成 −e^(a/2)/(2(e^a + 1))。关键在于 e^(−a/2) 平方后变成 e^(−a)，分母因此塌缩得很干净。

求 cos√(2x+1) 的导数：链式法则连用两次

导数是 −sin√(2x+1)/√(2x+1)，适用于 x > −1/2。链式法则要用两次，而内层带出的因子 2 恰好把幂法则里的 1/2 约掉。

e 的 −x² 次方乘 sin 3x 的一阶与二阶导数

f′ 等于 e 的 −x² 次方乘 (3cos3x − 2x sin3x)，f″ 等于 e 的 −x² 次方乘 ((4x² − 11)sin3x − 12x cos3x)。两次乘积法则，链式法则分别贡献 −2x 和 3。

不用商法则也能求 (eˣ + 1)/x³ 的导数

答案是 (eˣ(x − 3) − 3)/x⁴。把分式改写成 (eˣ + 1)·x⁻³，本来要用商法则的题就变成了更省事的乘法法则题，最后通分到 x⁴ 即可。

求 ln(1 + x/(eπ)) 的导数，化简成 1/(x + eπ)

导数是 1/(x + eπ)。链式法则先给出 (1/(eπ)) 除以 (1 + x/(eπ))，再把分子分母同乘 eπ，繁分数就化干净了。

求 ln(3x²) 的导数：为什么结果只是 2/x

导数是 2/x。链式法则给出 6x/(3x²)，常数 3 被约掉了；对数运算律也预示了这一点，因为 ln(3x²) = ln 3 + 2 ln x。

求 ln(x + √(x² − a²)) 的导数，结果是 1/√(x² − a²)

导数是 1/√(x²−a²)。链式法则算出的分子恰好通分成 (√(x²−a²)+x)/√(x²−a²)，括号整体与对数的真数约掉——这其实就是反双曲余弦的导数。

用链式法则求 y = log(sin x) 的导数，结果是 cot x

y = log(sin x) 的导数是 cot x。把 sin x 当成内层函数用链式法则，再把 cos x 除以 sin x 化简成一个余切。

求 y = -(1/2)sin(3.14/3 - x²) 的导数与定义域

答案是 y' = x·cos(3.14/3 - x²)。内层导数为 -2x，两个负号相消、1/2 与 2 约掉，最终 x 的系数恰好是 1。本文给出定义域判断与完整链式法则步骤。

用幂函数求导法则求 (1/4)x¹² + 3x⁶ - x + 10 的导数

y' = 3x¹¹ + 18x⁵ - 1。分数系数 1/4 要与指数 12 相乘得到 3，常数项 10 求导为零、在结果里不留痕迹。逐项求导并用次数下降一次做校验。

求 (1/10)x⁵ + x⁴ + 3x - √3 的导数（幂函数法则）

y' = (1/2)x⁴ + 4x³ + 3。首项系数应算成 5/10 = 1/2 而不是 2，无理常数 √3 和普通常数一样求导为零。逐项拆开讲清每一步的依据。

求 y = sin²x 的导数：链式法则得 sin2x

导数是 2sinx·cosx，再用二倍角公式化成 sin2x。关键是把 sin²x 读成 (sinx)²，外层函数是平方、内层函数是正弦，别读成 sin(x²)。

求 f(t) = t·sin(3t) 的导数（乘法法则 + 链式法则）

导数是 f'(t) = sin(3t) + 3t·cos(3t)。乘法法则把两个因子拆开，链式法则再从内层 3t 提供出因子 3，漏掉这个 3 是这里最常见的错误。

1/0.3 的导数：常数为什么求导等于零

导数是 0。1/0.3 = 10/3 里根本没有变量，所以它是常数函数，图像是一条水平直线，处处斜率为零。文中还对比了 1/(0.3x) 这一形似却完全不同的式子。

已知 f(3)=5、f'(3)=2，求反函数导数 g'(5)

g'(5) = 1/2。对恒等式 f(g(x)) = x 用链式法则求导得 g'(x) = 1/f'(g(x))；由 f(3)=5 知 g(5)=3，所以答案就是 f'(3)=2 的倒数。

求 f(x) = x·cos(x + 3) + 7 的导数（乘法法则）

导数是 cos(x+3) − x·sin(x+3)。常数 7 求导后消失，而 x+3 的内层导数为 1，所以不会多出额外的链式因子。文中含两点数值验证。

x³ − 3x² + 2x 逐项求导：为什么 x³ 变成 3x²

导数是 3x² − 6x + 2。幂函数求导法则把指数搬到系数位置、再让指数减一，于是 x³ → 3x²、−3x² → −6x、2x → 2。文中用数值差商验证结果。

用幂函数求导法则求 x³ + 2x² − 5x 的导数

导数是 3x² + 4x − 5。按幂函数法则逐项求导，常数系数保持不变，一次项求导后就等于它自己的系数。文末还给出驻点 x = 5/3 与 x = −1。

(x − 1)^x 怎么求导：对数求导法完整步骤

导数是 (x − 1)^x [ln(x − 1) + x/(x − 1)]，定义域是 x > 1。底数和指数里都有 x，幂函数法则和指数函数法则都用不上，所以要先两边取对数。

用商的求导法则求 f(x) = x/(x²+1) 的导数

答案是 (1−x²)/(x²+1)²。分子由 (x²+1)−2x² 化简而来，这正是导数恰好在 x = 1 与 x = −1 处变号的原因。文中还读出极值与水平渐近线。

用商的求导法则求 y = x²/tanx 的导数

导数是 (2x·tanx − x²·sec²x)/tan²x。用商的求导法则并代入 tanx 的导数 sec²x，再换成正弦余弦改写，并给出定义域限制。

求 x²/2 + cos5x 的导数：逐项求导加链式法则

f(x) = x²/2 + cos5x 的导数是 x − 5sin5x。二次项求导得 x，对 cos5x 用链式法则会提出因子 5 并变号，漏掉这个 5 或丢掉负号是最常见的错误。

用幂函数求导法则求 x² 的导数：为什么是 2x

答案是 2x。幂函数求导法则 d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹ 取 n = 2 得 2x¹，用导数的极限定义也能验证 —— 二项展开里的 2xh 项正是系数 2 的来源。

求 f(x) = 2x² − 3x + 4 的差商并化简

化简后的差商是 4x + 2h − 3。展开 2(x+h)² 会产生 4xh 与 2h² 两项，它们与 −3h 一起提出公因式 h，正好约掉分母。令 h→0 就得到导数 4x−3。

一次函数 f(x) = 8 − 11x 的差商就等于 −11

差商是 −11，一个 h 也不剩。所有 h 都被约掉，是因为一次函数的斜率恒定 —— 这一点正好可以用来检验代数运算有没有出错。

级数 Σ xⁿ⁻¹/n 在 x = 1 与 x = −1 处可导吗

在 x = 1 处级数是调和级数、发散，因此谈不上可导。在 x = −1 处级数收敛于 ln2，单侧导数存在且等于 ln2 − 1/2 ≈ 0.1931472。

中心在原点的双曲线族所满足的微分方程

从 x²/a² − y²/b² = 1 中消去 a 与 b，得到 xy·y″ + x(y′)² − y·y′ = 0。求导两次后把两个关系式相除，就能一次性把两个常数都消掉。

用幂函数求导法则求 8x⁵ − 3x⁻⁴ + 4/x − 9 的导数

dy/dx = 40x⁴ + 12/x⁵ − 4/x²。先把每一项都写成 x 的幂，幂函数法则就能统一处理，两个负指数各自变号，常数项求导为零。

逐项求导：8x⁶ − 3x⁻⁴ + 4/x − 9 的导数

dy/dx = 48x⁵ + 12/x⁵ − 4/x²。把 4/x 改写成 4x⁻¹，幂函数法则就能统一处理每一项，两个负指数在过程中让符号翻转了两次。

求 e^(2x)·artanh(√(eˣ−1)) 的导数（乘法法则）

导数是 2e^(2x)artanh(√(eˣ−1)) + e^(3x)/(2√(eˣ−1)(2−eˣ))。注意 1−z² 恰好化为 2−eˣ，这同时也定出了定义域 0 ≤ x < ln2。

求 y = eˣ/(eˣ + e⁻ˣ)² 的导数并化简

答案是 (3 − e^(2x))/(eˣ + e⁻ˣ)³。把分母当作负指数幂来处理，就能把商的求导法则换成更干净的乘法法则加链式法则。文末给出极值点 x = ½ln3。

用幂函数求导法则求 y = x² 的导数

dy/dx = 2x。幂函数求导法则说 xⁿ 的导数是 n·xⁿ⁻¹，取 n = 2 时原来的指数变成系数、新指数降为 1。文中还用定义验证并给出几何解释。

由速度 v(t) = t² + t 求 1 ≤ t ≤ 2 上的位移

把 v(t) = t² + t 从 t = 1 积到 t = 2，得到位移 23/6 米，约 3.83 米。该区间上速度始终为正、不变号，所以位移与路程相等。

每个 f′(ξ) 都能当割线斜率吗：arctan x 给出反例

命题不成立。取 f = arctan，f′(0) = 1 是导数的严格最大值；而任何割线斜率都是导数在一段区间上的平均值，必然严格小于 1，所以这个值永远取不到。

单位正方形上 1/(x+y+2) 的二重积分怎么算

答案是 10 ln 2 − 6 ln 3 = 0.3397980736。先对 x 积分得到 ln(y+3) − ln(y+2)，再对每个对数用原函数 (y+a)ln(y+a) − (y+a) 完成第二次积分。

三角形楔形区域上的二重积分：先定符号再算累次积分

结果是 F = −36.435898/1.1015 ≈ −33.0784。被积函数不含 x，内层积分直接乘以带符号的宽度；关键是先判定该宽度为负，所以 F 必为负值，最后用数值积分核对符号与大小。

在 x=4、y=−2、y=x 围成的三角形上求 4 − y 的二重积分

结果是 72。三条直线交于 (−2,−2)、(4,−2) 和 (4,4)，让 y 从 −2 积到 x、x 从 −2 积到 4，正好扫遍整个三角形。

二重积分 ∬(2 − 2x − 2y) 在 x ≤ y ≤ 3 上等于 −8

答案是 −8。内层从 y = x 积到 y = 3，留下 3x² − 8x − 3；再对 1 ≤ x ≤ 2 积分就得到 −8。被积函数在整个区域上都为负，所以结果为负很正常。

用分区法算 |xy − 1/4| 在单位正方形上的二重积分

答案是 3/32 + ln2/8 ≈ 0.180393。双曲线 xy = 1/4 把正方形分成两块，其中 1/(16x) 那一项正是最终结果里出现对数的来源。

单位圆盘上 e 的 −(x²+y²) 次方的二重积分

答案是 π(1 − 1/e) ≈ 1.9858。换成极坐标后被积函数变成 e 的 −r² 次方再乘 r；虽然 e 的 −x² 次方没有初等原函数，但雅可比多出来的这个 r 让径向积分刚好能算。

单位正方形上 exp(−x² − y²) 的二重积分：用误差函数表达

精确值是 (π/4)·erf(1)² ≈ 0.55775。被积函数可以分离，正方形上的二重积分就化成一个一维高斯积分的平方，根本不需要初等原函数。

sin x − cos y 在正方形 [0, 2π]² 上的二重积分等于 0

结果是 0。正方形边长 2π 恰好是一个完整周期，所以 sin x 和 cos y 各自的积分都为零，可分离的被积函数每一项都是 2π 乘以 0。

sin(x²) + cos(y²) 在单位正方形上的二重积分怎么算

结果是两个菲涅耳积分之和，约 1.2148。两项都没有初等原函数，但因为各自只含一个变量，可以拆成两个一元积分再数值求值。

带 max 的二重积分怎么算：正方形上 √(2x−x²) 与 1−y 取大者

答案是 5/6。先配方看出 √(2x−x²) 是圆心 (1,0) 的上半单位圆，换元把图形摆正，再沿四分之一圆弧把正方形切成两块以去掉 max，两块分别积分后相加。

x·cos(x + y) 在直角三角形上的二重积分怎么算

答案是 −3π/2。先对 y 从 0 积到 x，得到 x(sin 2x − sin x)；再在 [0, π] 上拆成两个分部积分，分别得到 −π/2 和 π，合并即可。

两条根号曲线之间 x·e^(−y²) 的二重积分

积分等于 5/144。先对 x 积分，把 x = √y/3 与 x = √y/2 这两条曲线化成因子 5y/72，再用 y·e^(−y²) 在 0 到 +∞ 上的积分等于 1/2 收尾。

∬(x − 4y) 在矩形 [−1,1]×[0,2] 上等于 −16

结果是 −16。因为 [−1,1] 关于 0 对称、x 又是奇函数，它在这个区间上的积分为零，只剩下 −8y 从 0 积到 2。交换积分次序重算，答案一样。

(x − 4y) 在矩形 [−1,2]×[0,1] 上的二重积分等于 −9/2

结果是 −9/2。先对 x 积分得到 3/2 − 12y，再对 y 积分得 −4.5；交换积分次序，由富比尼定理会得到同一个结果。

(x/8)(x² + xy) 在正方形 [0, 2]² 上的二重积分

结果是 5/3。先把 x/8 乘进括号，被积函数就变成单项式之和，再依次对 y 和 x 积分；那个 1/8 恰好让它成为一个联合密度积分。

交换积分次序：圆扇形区域上 x/√(x²+y²) 的二重积分

积分值是 1 − √2/2，约 0.292893。交换次序后区域必须切成两段 y 片，最后再用极坐标一行验证同一个结果。

求 x/(x² + y²) 在 y = x 与 2y = x² 之间区域上的二重积分

这个二重积分等于 ln 2。先对 y 积分得到反正切，上下限化成 arctan 1 减 arctan(x/2)，再做一次分部积分就收尾了。

圆环扇形上二重积分 x + 2y = (7/6)(√2 − 2) ≈ −0.6834

积分值是 (7/6)(√2 − 2) ≈ −0.6834。圆环条件化成 1 ≤ r ≤ 2，x ≤ 0 与 y ≥ x 求交得 π/2 ≤ θ ≤ 5π/4；面积元是 r dr dθ，漏掉这个 r 是最常见的错误。

两段圆弧之间 x + xy 的二重积分怎么算

答案是 π/6 − √3/8 + 5/48 ≈ 0.411259。先提出 x(1 + y)，对 x 积分得到 √(1−y²) − 1/2，再用反正弦的标准原函数把它算完。

笛卡尔叶形线 x³ + y³ = 3xy 圈内区域上的二重积分

结果是 4π/√3 − 3π/2 ≈ 2.5428。化到极坐标后，雅可比里的 r 恰好被被积函数的 1/r 约掉，只剩下一个关于 θ 的积分，再用立方和公式把它化简。

x² − 8y 在矩形 [−2,−1]×[0,1] 上的二重积分

答案是 −5/3。被积函数拆成 x² 和 −8y 两项，在矩形上各自都能分离变量，结果是 7/3 − 4 = −5/3。

y = x² 与 y = 2 − x 之间 x² + y² 的二重积分

积分值是 149/105，约 1.4190。先对 y 积分上下限最省事，因为在 0 ≤ x ≤ 1 上抛物线始终在直线下方，每条竖直切片都干净地从下界连到上界。

单位正方形上 x² + y² 的二重积分等于 2/3

答案是 2/3。由对称性，两项的贡献完全相同，各为 1/3，所以在 0≤x≤1、0≤y≤1 上的二重积分等于 2/3。

换元法求 xy·sin(xy²) 在 [0, π]² 上的二重积分

结果是 π/2 − sin(π³)/(2π²) ≈ 1.59097。内层积分是标准的换元：令 u = xy²，则 xy dy 恰好是 du/2，正弦立刻积成余弦。

xy 乘 e 的 x²y 次方在矩形 [−2,0]×[0,5π/2] 上的二重积分

答案是 5π/4 + 1/8 − (e 的 10π 次方)/8。先对 x 积分，用换元 u = x²y 把内层化成 (1 − e 的 4y 次方)/2，外层就是初等积分了。

二重积分怎么算：y 在 y = x² 与 y = 1 之间的区域上等于 4/5

答案是 4/5。对每个 −1 ≤ x ≤ 1，竖直切片从 y = x² 到 y = 1，先对 y 积分得 (1 − x⁴)/2，再对 x 积分得 4/5，还能用形心高度 3/5 反过来验证。

奇对称使二重积分为零：正方形区域上的反常二重积分

这个二重积分等于 0。被积函数可分离变量，先拆成两个一元积分；关于 x 的那个是反常积分，确认收敛后再用奇函数对称性得零，并说明跳过收敛判断为什么会出错。

矩形区域上 x² − 8y 的二重积分怎么算

在 −2 ≤ x ≤ −1、0 ≤ y ≤ 1 的矩形上计算 x² − 8y 的二重积分，结果是 −5/3。积分限全是常数，逐层做累次积分即可，注意负数代入时的符号。

求 xy² 在 y = 2sin x 曲线下方区域上的二重积分

结果是 16π/9 ≈ 5.585。先对 y 积分得到 (8/3)·x·sin³x，再用三倍角公式把 sin³x 线性化，最后对两项分别做分部积分。

x·cos(x + y) 在三角形区域上的二重积分

计算 x cos(x + y) 在顶点为 (0,0)、(π,0)、(π,π) 的三角形上的二重积分。取 0 ≤ y ≤ x 作内层积分限，精确答案是 −3π/2 ≈ −4.712。

两条抛物线之间区域上的二重积分：用对称性直接得零

求 9y + 4x 在 y = 4x² − 9 与 y = 9 − 4x² 围成的区域上的二重积分。先定出积分上下限，再利用区域关于两条坐标轴的对称性，一步就得到答案 0。

带绝对值、上限还是符号的二重积分怎么算

答案是 sin²(x)/128 + (1 − cos x)/72，对 0 ≤ x ≤ π/2 成立。先把被积式分解成 r²sinθ(r cosθ + 1/3)，看出它处处非负，绝对值就能直接去掉。

带 tan²(0.661) 的第二类完全椭圆积分怎么求值

结果约为 1.7865。根号里是加号，意味着模数是虚数，要按参数为负的 E(k) 处理；先用被积函数的上下界把答案夹住，再做数值积分。

第二类完全椭圆积分：0 到 π/2 上 √(1 + tan²(0.8)sin²β) 的积分

积分值约为 1.9280090。它是参数为负的第二类完全椭圆积分 E(−tan²(0.8))，没有初等的封闭表达式；先用 1.5708 到 2.2546 的界卡住结果，再用三种数值方法互相印证。

分母次数更高时有理函数在无穷远处的变化趋势

两端都趋于 0，因为分母是 6 次而分子只有 3 次。商的行为接近 -1/(2x³)，因此水平渐近线是 y = 0。

含 Gamma 函数的级数求值：前三项就够六位有效数字

整个表达式约等于 0.00118532。求和项是 Mittag-Leffler 型的，没有初等闭式，但 Γ(8n/5+1) 超指数增长，n = 4 起就低于 1e−10，可以放心截断。

用直接代入法求五个极限

五个值依次是 25、300、153、729 和 41。每个函数在目标点都连续，所以极限就等于函数值，完全不用做变形。

解微分方程 (x + y + 1)dx + (2x + 2y + 5)dy = 0：换元 u = x + y

通解是 x + 2y − 3ln|x + y + 4| = C。先验恰当性，发现 ∂M/∂y = 1 而 ∂N/∂x = 2，并不恰当；但两个系数都只依赖 x + y，令 u = x + y 化成可分离变量方程，积分后回代即得。

从 800 只兔子出发解 dP/dt = 0.12P：5 年后 1458 只，倍增期 5.78 年

分离变量得 P = 800 乘以 e 的 0.12t 次幂。t = 5 时是 1458 只兔子；倍增时间为 ln2 / 0.12 = 5.78 年，而且与初始数量无关。

(y′)² − 4x²y′ + 4x⁴ − x² 的因式分解与微分方程求解

把 y′ 当作变量，前三项配成完全平方 (y′ − 2x²)²，再减 x² 用平方差拆开；令两个因式分别为零得 y′ = 2x² + x 与 y′ = 2x² − x，积分得到两族通解 y = 2x³/3 ± x²/2 + C。

求 a 和 b，使这个三段分段函数处处连续

答案是 a = 17/175，b = 1/25。在 x = −2 处衔接给出 b = 21a − 2，在 x = 1 处衔接给出 7a + 8b = 1，两式联立就把两个未知数定死了。

求使分段函数在 x = 1 处连续的 a、b、c

答案是 a = 2、b = 3、c = 4。要让右极限有限，分子必须在 x = 1 处为零；约分后右极限是 3，左边的 −x + c 也必须等于 3。

求参数 a，使 x → 0 处的两个单侧极限相等

只有 a = e − 1/e 时极限才存在。含 e^(1/x) 的因式右侧趋于 1、左侧趋于 2，而 (1 + |x|)^(1/x) 右侧趋于 e、左侧趋于 1/e，令两边相等即可解出 a。

求 y′ + y/x = 18x + 4 的解中的常数 k、h、s

答案是 k = 6，h = 2，s = 1。积分因子 x 把方程化成 (xy)′ = 18x² + 4x，积分得 xy = 6x³ + 2x² + C，整理成 6x² + 2x − y + C/x = 0 后逐项比对系数即可。

用积分因子法解 dy/dx + 2y = e^(−x)

通解是 y = e^(−x) + Ce^(−2x)。两边同乘积分因子 e^(2x)，左端立刻凑成乘积求导的形式，积分一次再除回去就得到通解。

关于 y′ 的二次型一阶微分方程怎么解：判别式恰是完全平方

通解是 xy = C₁ 或 x² + y² = C₂。方程对 y′ 是二次的，先把它当代数方程解出两个分支 y′ = −y/x 与 y′ = −x/y，判别式恰为完全平方，再分别分离变量积分。

下半球面内侧的第二类曲面积分（通量）怎么算

结果是 8π。曲面不闭合，先用 z = 0 的圆盘把它补成闭曲面并用高斯公式，散度积分给出 −6π；再减去圆盘向上的通量 2π 得外侧通量 −8π，题目要内侧定向，反号即得 8π。

全空间上的高斯三重积分：含余弦、正弦与 r² 三项

结果是 a(π/α)^(3/2)·exp(−(ξ² + η² + ζ²)/(4α)) + 3cπ^(3/2)/(2α^(5/2))。正弦项因奇对称为零，余弦项就是高斯函数的三维傅里叶变换，r² 项在球坐标下化成伽马积分。

按 b/a 的符号求 ay″ + by = 0 的通解

若 b/a > 0，解是振荡型的 C₁cos(√(b/a)·x) + C₂sin(√(b/a)·x)；若 b/a < 0，是一对实指数函数；若 b = 0，就是直线 C₁x + C₂。

求 x'' + kx = 0 对一切常数 k 的通解

特征方程给出 r² = −k，于是按 k 的符号分三种情况：k > 0 是三角函数形式的振动解，k = 0 是 x = C₁t + C₂，k < 0 是一对指数解。每种情况都恰好含两个任意常数。

y″ − ay′ + by = 0 的通解：特征根 r = (a ± √(a² − 4b))/2 的三种情形

设 y = e^(rx) 得特征方程 r² − ar + b = 0，通解按 D = a² − 4b 分三种：D > 0 为两个不同实根的指数组合；D = 0 是重根，须补因子 x，得 (C₁ + C₂x)e^(ax/2)；D < 0 时化为 e^(ax/2) 乘 √(4b − a²)/2 频率的正余弦。

二元函数的梯度与沿 (0, −1) 方向的方向导数怎么求

对 x 求偏导用乘积法则加链式法则得 2xy + (1 − xy)e^(−xy)，对 y 求偏导得 x²(1 − e^(−xy))。方向 (0, −1) 本身就是单位向量，点乘后只剩下 y 偏导的相反数，即 x²(e^(−xy) − 1)。

求 f(x, y, z) = 3x⁴yz³ 的梯度在 i、j、k 方向上的分量

梯度是 ⟨12x³yz³, 3x⁴z³, 9x⁴yz²⟩。沿单位向量的分量就是方向导数，而 i、j、k 正是坐标轴方向，所以三个分量就是三个偏导数，各自求导时把另外两个变量当常数即可。

三项一组的级数收敛且 aₙ → 0，则 Σaₙ 收敛（真命题）

分组后的和恰好是部分和的子列 S₃ₙ。由于 aₙ → 0，S₃ₙ₊₁ 和 S₃ₙ₊₂ 也趋于同一个极限，因此整个部分和数列收敛，原级数收敛。

隐函数求导：x³ + x²y + y³ = 7 的 dy/dx 怎么求

结果是 dy/dx = −(3x² + 2xy)/(x² + 3y²)。两边同时对 x 求导，把 y 看成 x 的函数，混合项 x²y 必须用乘积法则，最后把含 dy/dx 的项合并再除以 (x² + 3y²)。

隐函数求导：x sec y = 4y − y tan 2x 求 dy/dx

结果是 dy/dx = (sec y + 2y sec²2x) / (4 − tan 2x − x sec y tan y)。方程解不出显式的 y，只能两边对 x 求导，每个 y 都要带上 dy/dx；求 tan 2x 的导数时那个内层因子 2 千万别丢。

隐函数求导：由 20x²⁰y + y⁸ = 33 − 30x⁶ 求 dy/dx

dy/dx = (−180x⁵ − 400x¹⁹y)/(20x²⁰ + 8y⁷)。其中 20x²⁰y 这一项要用乘积法则，而每求导一个 y 都会带出一个 dy/dx 因子。

反常积分 dx/(2 + 2x²)² 从 −∞ 积到 ∞ 怎么算

答案是 π/8 ≈ 0.3926991。先把常数提出括号化成 (1/4)∫dx/(1 + x²)²，确认收敛后用 x = tanθ 三角换元变成 ∫cos²θ dθ，再把积分限换成 ±π/2 即可。

反常积分 1/(x + √(x²−1))² 从 1 到 ∞ 等于 1/3

积分值是 1/3。换元 x = cosh t 把 x + √(x²−1) 整个变成 e^t；另外要注意下限必须取 1 而不是 0，否则被积函数根本取不到实数值。

计算反常积分：ln x 在 0 到 1 上的定积分

答案是 −1。原函数 x ln x − x 由分部积分得到，下端点则靠极限 a ln a → 0（a → 0⁺）来处理。

反常积分 ∫ 从 −∞ 到 0 的 1/(3√((x−8)²)) dx 发散到 +∞

这个反常积分发散到 +∞，不收敛。关键一步是 √((x−8)²) = |x−8|，而积分区间整个在 8 的左边，所以 |x−8| = 8−x；原函数为 −(1/3)ln(8−x)，当下限趋于 −∞ 时对数无界增长。这是 1/x 型尾部的临界发散情形。

广义积分 x·e^(−x²) 从 0 到无穷等于 1/2

结果恰好是 1/2。换元 u = x² 后被积函数变成 (1/2)e^(−u)，上限增大时 e^(−b²) 趋于 0，所以这个广义积分收敛。

−1 到 1 上 1/x^(2/3) 的反常积分怎么算：区间内部有奇点

积分值是 6。x = 0 是落在区间内部的奇点，必须在 0 处拆成两个反常积分；原函数 3x^(1/3) 对负数也有定义，两半各取极限都得 3，相加得 6。

求 1/(a - bx) 的不定积分：答案里为什么会冒出 -1/b

答案是 -(1/b)·ln|a - bx| + C。换元 u = a - bx 得 du = -b dx，于是内层斜率的倒数（连同那个负号）被提到了积分号前面。

求 2/x − 1/x² 的不定积分，两项为何积出不同类型的函数

结果是 2ln|x| + 1/x + C。1/x 是幂函数积分法则唯一的例外，必须用对数并加绝对值；1/x² 按普通幂法则积分，前面的负号又把 −1/x 变成 +1/x。

∫ (3/x − 2/x²) dx = 3ln|x| + 2/x + C

结果是 3ln|x| + 2/x + C。1/x 是幂函数积分法则唯一失效的情形，要用对数并加绝对值；1/x² 按法则积分得 −1/x，再被前面的减号翻成 +2/x，这个变号是最常被漏掉的一步。

不定积分 ∫ e^x/x dx 为什么算不出初等原函数

e^x/x 没有初等原函数，结果只能记作指数积分 Ei(x) + C。换元和分部积分都会失败，这不是运气不好，而是刘维尔定理的结论；把 e^x 展成级数逐项积分，可得 ln|x| + Σ xⁿ/(n·n!)，这是实际算数值的办法。

不定积分 ∫ x·e^(−x²) dx 怎么算：换元 u = −x²

结果是 −(1/2)e^(−x²) + C。单独的 ∫e^(−x²)dx 没有初等原函数，但多出来的因子 x 恰好是指数的导数（相差一个常数），于是令 u = −x² 换元，积分立刻变成 ∫eᵘdu。

无穷乘积 ∏(1 + x/n²) 的收敛性与它的对数增长率

与 ∑1/n² 作比较即知它对每个 x > 0 都收敛；乘积的对数除以 √x 趋于 π，用欧拉的 sinh 无穷乘积公式可以把这一点算得完全精确。

使 (mx − 4)/(x − m) 在 (0, +∞) 上递增的整数 m 有几个

答案是 2 个，即 m = −1 和 m = 0。求导后分子恒为 4 − m²，给出 −2 < m < 2；还要求渐近线 x = m 不落在 (0, +∞) 内，即 m ≤ 0，两条件取交集得 −2 < m ≤ 0。

不用三角换元，求 (1 − u²)/(a − bu²) 的 3/2 次幂的积分

结果是 (b − a)u/(ab√(a − bu²)) + arcsin(u√(b/a))/(b√b) + C。把 u² 改写成 (a − (a − bu²))/b，就能把积分拆成两个已知的标准形式。

用双曲换元求 1/(√x·√(x+1)) 的积分

答案是 2 arsinh(√x) + C，也可以写成 2 ln(√x + √(x+1)) + C。换元 x = sinh²t 能一口气把两个根号都变成初等表达式。

∫(1/x)dx 为什么等于 ln|x| + C，绝对值是从哪来的

∫(1/x)dx = ln|x| + C。幂法则在 p = −1 处失效；x > 0 时 ln x 求导得 1/x，x < 0 时 ln(−x) 求导同样得 1/x，绝对值正是把两段拼起来的那块补丁。

∫dx/((x−1)√(−x²+2x+3)) = −(1/2)ln|(2+√(−x²+2x+3))/(x−1)| + C

结果是 −(1/2)ln|(2 + √(−x²+2x+3))/(x−1)| + C。根号内配方得 4 − (x−1)²，而 (x−1) 同时出现在根号内外，这正是倒代换的信号：令 x − 1 = 1/t，积分化成标准的反双曲形式。别忘了 dx = −dt/t² 带来的负号。

不定积分 ∫ (1/x² − 1/(3√x)) dx 怎么算

先把两项都写成幂：1/x² 是 x 的 −2 次幂，1/(3√x) 是 (1/3) 乘 x 的 −1/2 次幂，再用幂函数法则分别积分，得 −1/x − (2/3)√x + C。因为有根号，原函数只在 (0, +∞) 上有效。

不定积分 ∫(1 + tan²y) dy 怎么算：先用同角三角恒等式

结果是 tan y + C。不要逐项积分，先用 1 + tan²y = sec²y 把被积函数整体化简，再认出 sec²y 正是 tan y 的导数即可；原函数在每个 cos y ≠ 0 的区间上成立。

求 2/(1 − x²) 的不定积分：拆成部分分式来做

原函数是 ln|(1 + x)/(1 − x)| + C。因为 1 − x² = (1 − x)(1 + x)，被积函数可拆成 1/(1 − x) + 1/(1 + x)，两个对数再合并成一个。

求不定积分 ∫ 2ˣ(2ˣ + 4)⁵ dx：指数函数换元法

结果是 (2ˣ + 4)⁶ / (6 ln2) + C。括号内函数的导数是 2ˣ·ln2，与括号外的 2ˣ 只差一个常数 ln2，正是换元的信号；底数是 2 不是 e，那个 ln2 千万不能丢。

25x 的 3/2 次方怎么积分：幂法则与分数指数

答案是 10x 的 5/2 次方加 C。先把常数 25 提到积分号外，再用幂法则把指数加 1 得到 5/2；除以 5/2 相当于乘 2/5，于是 25 × 2/5 = 10，最后求导验证回到 25x 的 3/2 次方。

求 ∫(4e^(2x) − sin 2x) dx：别忘了除以内层系数

答案是 2e^(2x) + (1/2)cos 2x + C。内层系数 2 要拿去除结果；而 sin 2x 前面的负号与积分公式自带的负号相乘，让余弦项变成正号。

∫ 从 0 到 ∞ 的 arctan x / cosh x dx ≈ 1.0986875

积分收敛，值约为 1.0986875，但它没有初等封闭形式（也不等于 ln 3，只是数值接近）。算法是把 1/cosh x 展成交错指数级数后逐项积分，再用分部积分化成一列辅助积分；级数求和与高斯求积给出同一个数值。

cos(2x) 的积分为什么会多出一个 1/2

答案是 (1/2)sin(2x) + C。求导时链式法则会额外乘上一个 2，所以原函数前面必须带上它的倒数 1/2 来抵消。

∫ cos x · sin(5 sin x + 2) dx 怎么算：换元法一步到位

结果是 −(1/5)cos(5 sin x + 2) + C。内层函数 5 sin x + 2 的导数 5cos x 恰好现成地摆在外面，令 u = 5 sin x + 2 后化为 ∫ sin u du，最后再求导验算。

e^(iωx) 对 ω 在整条实轴上的积分等于 2πδ(x)

作为普通的反常积分它发散；作为广义函数它等于 2πδ(x)。截断到 ±A 得到 2sin(Ax)/x，它永远振荡不停，却在弱意义下收敛到 2πδ(x)。

求 e^(-x²) 的积分：为什么答案里必须出现误差函数

结果是 (√π/2)·erf(x) + C。它没有初等原函数，只能借助 erf 来表示，而 erf 定义里的 2/√π 在这里正好被抵消。

e 的负 x 次方乘 x 的非整数次幂，积分怎么写

指数 3.102378 不是整数，分部积分永远降不到零次，所以不存在初等原函数。答案要用下不完全伽马函数写成 γ(4.102378, x) + C，等价形式是 −Γ(4.102378, x) + C。

∫₀¹ (ln x)⁴ln(1−x)/(x(1−x))dx = 12ζ(3)² − 2π⁶/45

积分值是 12ζ(3)² − 2π⁶/45 ≈ −25.389119。先把 1/(x(1−x)) 拆成 1/x + 1/(1−x)，两半分别用对数级数和调和数生成函数展开，ζ(6) 项相消后归结为一个线性欧拉和求闭式。

积分 ln x 乘 arctan x：用二重对数函数写出闭式

两次分部积分之后剩下 ∫ ln(1 + x²)/x dx，它没有初等原函数，只能用二重对数 Li₂(−x²) 表示。最终闭式由 x ln x arctan x、−(1/2)ln x ln(1 + x²)、−x arctan x 等几项加上 −(1/4)Li₂(−x²) 组成。

∫ −8cos(0.8t²) dt 怎么写：用菲涅耳余弦积分表示

答案是 −2√(10π)·C(√(8/(5π))·t) + C₁，其中 C 是菲涅耳余弦积分。cos(at²) 没有初等原函数，只能通过换元把辐角凑成 πu²/2 的标准形式，再对前面的系数化简 8/√8 = 2√2。

用不完全伽马函数表示 1/((x + 1)(ln x)^a) 的积分

这个积分没有初等原函数。令 u = ln x 并把 1/(1 + e^(−u)) 展成级数，可得 (ln x)^(1−a)/(1 − a) 加上一列伽马函数 Γ(1 − a, n ln x)。

求 ∫ sin²x·cos³x dx：奇次幂拆一个出来做换元

结果是 sin³x/3 − sin⁵x/5 + C。余弦是奇次幂，拆出一个 cos x 当微分，剩下的 cos²x 用 1 − sin²x 替换，令 u = sin x 后积分就退化成多项式，最后用辛普森法数值核对。

换元法求积分：∫sin x / sin²(4cos x) dx 怎么算

答案是 (1/4)cot(4cos x) + C。内层函数 4cos x 的导数是 −4sin x，而分子里刚好有 sin x，所以令 u = 4cos x 换元，化成 −(1/4)∫csc²u du，再用 cot 的导数公式积出来。

当 ∇²f = x² + y² 时，∂f/∂r 在单位圆盘上的积分等于 π/10

积分值是 π/10。被积函数其实是径向方向导数，于是对角度 θ 取平均：平均值满足 (r g′)′ = r³，得 g′ = r³/4，结果与具体取哪个 f 无关。

用换元法求 x³ sin(7x⁴ + 3) 的积分

答案是 −cos(7x⁴ + 3)/28 + C。外面的 x³ 差一个常数就是里面 7x⁴ + 3 的导数，所以换元即可，不必分部积分。

∫ (x−1)/(x²−2x+3)² dx = −1/(2(x²−2x+3)) + C

结果是 −1/(2(x² − 2x + 3)) + C。分母底式的导数是 2(x − 1)，分子恰好是它的一半，直接换元 u = x² − 2x + 3 一步到位，既不用配方也用不到反正切；求导即可验证。

用部分分式法积分 (x + 3)/(x² − 5x + 6)

原函数是 −5 ln|x − 2| + 6 ln|x − 3| + C。先把分母分解成 (x − 2)(x − 3)，拆成两个简单分式，再逐项积成对数即可。

∫ x²e^(−x²) dx 怎么算：分部积分加误差函数 erf

结果是 −(x/2)e^(−x²) + (√π/4)erf(x) + C。把 x² 拆成 x 与 xe^(−x²)，后者才有初等原函数；分部积分后剩下的高斯积分只能用误差函数表示，最后求导验算。

x²e^x 的不定积分：分部积分做两次

答案是 e^x(x² − 2x + 2) + C。取 u = x² 能让多项式的次数每做一轮降 1，所以要做两次分部积分；最后对结果求导就能验证。

两次分部积分求 x²·sin x 的不定积分

答案是 -x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C。每做一次分部积分，x 的次数就降一次，所以二次多项式恰好要用两次。

计算从 0 到 π 的定积分 x(sin 2x − sin x) dx

结果是 −3π/2 ≈ −4.712389。先按线性拆成两个积分，各自用分部积分取 u = x，分别得到 −π/2 和 π，相减即可；最后再用符号分析确认结果应当为负。

∫x⁵/√(x²+1) dx = (1/5)(x²+1)^(5/2) − (2/3)(x²+1)^(3/2) + √(x²+1) + C

结果是 (1/5)(x²+1)^(5/2) − (2/3)(x²+1)^(3/2) + (x²+1)^(1/2) + C。x 的幂次是奇数，所以拆出一个 x 与 dx 配成 du：令 u = x²+1，则 x dx = du/2，剩下 x⁴ = (u−1)²，展开后全是 u 的幂函数，逐项积分即可。

不定积分 ∫ (x⁴ − 3x² + 5)/x dx 怎么算

分母只是一个单项式，直接逐项相除化成 x³ − 3x + 5/x，再用幂函数法则和对数法则积分，得 x⁴/4 − 3x²/2 + 5ln|x| + C。注意 5/x 那一项的对数必须带绝对值，因为被积函数在 x 为负时也有定义。

积分 ∫ 2dy/(−2y) 怎么算：约分后用倒数的原函数

结果是 −ln|y| + C。先把 2 与 −2 约成 −1，提出常数后用 ∫(1/y)dy = ln|y| + C；绝对值不能省，因为 y 为负时原函数是 ln(−y)，而幂函数法则在 n = −1 时会除以零。

用幂函数积分公式算 5y^(2/5) 的不定积分

原函数是 (25/7)y^(7/5) + C。指数 2/5 加 1 得 7/5，除以 7/5 就是乘 5/7，于是 5 乘 5/7 等于 25/7。

求 ∫ e^(6x) dx：指数函数积分为什么要除以 6

结果是 (1/6)e^(6x) + C。对 e^(6x) 求导会多出内层导数 6，积分就得把它除掉；文中给出通用公式 ∫e^(kx)dx = (1/k)e^(kx) + C，并用换元法和求导两种方式验证。

求 ∫(x³ + 6) dx：积分的线性性质加幂法则

答案是 x⁴/4 + 6x + C。先用线性性质把两项拆开，对 x³ 用幂法则把指数加 1 得 x⁴/4，常数 6 积成 6x，最后合并成一个任意常数 C，并用求导验证。

用和的法则与幂函数法则求 ∫(x + 3) dx

原函数是 x²/2 + 3x + C。把积分逐项拆开，对 x 用幂函数法则，把 3 看成常数 3x⁰，最后只补上一个积分常数 C。

用幂函数积分公式求 x² − 13√x 的不定积分

原函数是 x³/3 − (26/3)x^(3/2) + C。先把 x^(2/4) 约成 x^(1/2)，幂函数积分公式才能干净地套上去。

幂级数 Σ(−1)ⁿ(1/n − 1/(n+2))xⁿ 的收敛区间是 [−1, 1]

收敛区间是闭区间 [−1, 1]。系数通分为 2/(n(n+2))，比值判别法给出收敛半径 R = 1；x = 1 时按 1/n² 比较绝对收敛，x = −1 时是可裂项的正项级数，和为 3/2，两个端点都要单独判断。

三个指数项之和的拉普拉斯逆变换怎么求

结果是 0.4δ(t−1) + 0.2δ(t−2) + 0.4δ(t−3)。指数前面没有跟 F(s)，相当于 F(s) = 1，而 1 的逆变换是狄拉克 δ 函数；再用第二位移定理把三个冲激分别搬到 t = 1、2、3 处。

Li₂(x) 在 x = 1 处可导吗：连续但不可导

答案是不可导。Li₂ 在 1 处有定义也连续，值为 π²/6，但它的导数 −ln(1 − x)/x 在 x 从左侧趋于 1 时发散到正无穷。

二重对数函数 Li₂(x) 在 x = −1 处可导吗

可导，且 f′(−1) = ln 2 ≈ 0.693。x = −1 是收敛区间的端点，逐项求导得到的交错调和级数收敛，再用阿贝尔定理把收敛升级成可导；而在 x = 1 处同一级数发散，函数不可导。

累次积分 (y − x) 的值 = π/4 + 1/6 ≈ 0.95206

结果是 π/4 + 1/6 ≈ 0.95206。先对 x 积分，下限 √(1−y²)+1 比上限 y 大，按牛顿-莱布尼茨公式照算即可，负号会自动带出；展开平方后 y²/2 恰好相消，剩下的四块里 √(1−y²) 从 0 到 1 的积分就是四分之一单位圆面积 π/4。

累次积分：内层 y 从 x 积到 √(1−x²)+1 怎么算

结果是 2/3 + π/4。先算内层积分，化简后得到 1 − x² + √(1−x²)；再拆成三块，前两块直接积出 1 和 1/3，第三块正是单位圆第一象限四分之一的面积 π/4，根本不用作三角换元。

极坐标累次积分：直角三角形上 r² 的二重积分怎么算

结果是 (ab√(a²+b²))/(6(a+b)) + (a³/(6(a+b)))·ln((√(a²+b²)+b)/a)。上限 r = a/cosθ 其实是直线 x = a，积分区域是顶点 (0,0)、(a,0)、(a,b) 的直角三角形；内层积分给出 sec³θ，需用分部积分公式。

y″ − y = 4δ(t−2) + t² 的解：2eᵗ − t² − 2 + 4u(t−2)sinh(t−2)

解是 y(t) = 2eᵗ − t² − 2 + 4u(t−2)sinh(t−2)。冲激项让待定系数法和常数变易法都失效，而拉普拉斯变换把 δ(t−2) 变成普通指数 e^(−2s)，方程立刻化成代数式；再用部分分式拆开，配合延迟（第二平移）定理逐项反变换。

用拉普拉斯变换解积分微分方程（卷积定理）

求解 y′(t) − 2∫₀ᵗ y(τ)sin(t−τ)dτ = 1，y(0) = −1。卷积定理把积分变成乘积，解出 Y(s) 后配方再逐项逆变换，得到含 e^(−t/2) 的衰减振荡解。

t·e^(2t) 的拉普拉斯变换怎么求：位移定理与收敛域

结果是 1/(s − 2)²，收敛域为 s > 2。由 L{t} = 1/s² 出发，用第一位移定理把 s 换成 s − 2；再用乘 t 求导法则和定义式两条路交叉验证，并说明收敛域为什么在极点右侧。

在 [2, 5] 上用 6 个矩形做左端点和右端点黎曼和

对 f(x) = 2x² − x − 1 在 [2, 5] 上，左和是 55，右和是 74.5。因为 f 在该区间上递增，这两个值正好把精确面积 64.5 夹在中间。

两个二次式之比开根号后在无穷远处的极限

极限是 2。把根号里的分子、分母同除以 x²，各个低次项都趋于 0，比值趋于 36/9 = 4，最后再开一次方就得到 2。

借助积分求 x 趋于负无穷时级数 x^n/(n·n!) 之和的极限

极限是负无穷。级数逐项求导得到 (e^x − 1)/x，于是这个和是一个积分，其行为像 −ln|x|，无界地往下走。

极限 (x²−1)tan(2x−2)/sin²(x−1) 在 x → 1 时等于 4

极限等于 4。令 u = x − 1 把问题平移到 0 附近，拆成 tan(2u)/(2u) 与 (u/sin u)² 两个标准极限，剩下 2(u + 2) → 4；这是 0/0 型，直接代入没有意义，必须先化简。

(e^x + x)^(1/x) 在 x → 0 处的极限等于 e²

极限是 e²。它属于 1 的无穷次方型未定式，取对数后 (1/x)ln(e^x + x) 变成 0/0，用洛必达法则得 2，所以答案是 e²。

x 趋于无穷时 (1 − cos 2x)/(2x) 的极限：用夹逼定理

极限是 0。分子 1 − cos 2x 一直在 0 与 2 之间振荡，本身没有极限，但它是有界的；除以趋于无穷的 2x 后被 0 和 1/x 夹住，由夹逼定理得 0。

x → 0 时 (1 − cos x)/(1 − e^x) 的极限是 0，不是 1

极限是 0。分子以 x²/2 的量级趋于零，分母却只以 −x 的量级趋于零，所以整个商的行为像 −x/2，从两侧都趋向 0。

求 x → 1 时 (1 - x)/(√(5 - x²) - 2) 的极限

极限是 2。这次根号在分母上，所以要乘分母的共轭式，再用 1 - x² = (1-x)(1+x) 约掉公因式。

求 x 趋于负无穷时 1/x² 的极限

极限是 0，而且是从上方趋近的。偶次幂把符号抹掉了，不管 x 往哪一边跑，x² 都趋于正无穷；分子固定为 1、分母无界增长，商自然被挤向零。

lim(x→2) (1 + (x³−8)/(4x−8))^(2x) = 256

极限值是 256。这不是 1 的无穷次幂：分子立方差 x³−8 = (x−2)(x²+2x+4)，分母 4(x−2)，约掉公因式后底数为 (x²+2x+8)/4，在 x = 2 处等于 4，指数 2x = 4，所以答案就是 4⁴ = 256，不需要凑 e 的极限。

数列极限 (2ⁿ + (−7)ⁿ) / (2ⁿ⁺¹ + (−7)ⁿ⁺¹) 怎么求

极限是 −1/7。比较底数的绝对值可知 (−7)ⁿ 占主导，把分子分母同时除以它，记 r = 2/(−7)，由于 |r| < 1 有 rⁿ → 0，式子就化为 (0 + 1)/(0 − 7)。

求极限 (2ˣ − 3ˣ)/(2ˣ + 3ˣ) 当 x 趋于无穷大

极限是 −1。分子分母都是 ∞ 型，不定式；但 3 > 2，所以 3ˣ 是主导项，上下同除以 3ˣ 后 (2/3)ˣ → 0，式子化为 (t − 1)/(t + 1)，t → 0 即得 −1。洛必达在这里反而越求越复杂。

求极限 (2n − n³)/(12 + n³)，为什么选项里没有对的

极限是 −1，所以应当选「以上都不对」。分子首项系数是 −1、分母是 +1，其余各项分别按 1/n² 或 1/n³ 趋于零。

求 x → ∞ 时 (2x − 3)/(x² + 3x) 的极限

极限是 0。分子次数 1 低于分母次数 2，有理函数在无穷远处的极限就是 0；具体做法是分子分母同除以 x²，让各个负幂项趋于零，分母稳定到 1，图像上表现为水平渐近线 y = 0。

求 (2x² + x − 3)/|x − 1| 当 x → 1 的极限：左右极限不相等

极限不存在。分子分解成 (x − 1)(2x + 3)，正好与绝对值里的 x − 1 对应；左极限是 −5，右极限是 5，函数在 x = 1 处有一个高度为 10 的跳跃。

x → 1 时 0/0 型「三次比二次」极限：因式分解后约分

极限是 7/13。分子与分母在 x = 1 处同时为零，说明两者都含因式 x − 1；把它约掉，0/0 不定型随之消失，再代入即可。

x → 2 时 3x³ + 5x² + 4x − 10 的极限 = 42

极限等于 42。多项式在每个实数点都连续，所以直接代入 x = 2：3·8 = 24，5·4 = 20，4·2 = 8，再减 10，合起来就是 42。这类题不是 0/0 型，用不上因式分解、有理化或洛必达法则，代入即可。

x → −2 时 (4 − x²)/(2x² + x³) 的极限怎么求

极限是 1。分子按平方差分解成 (2 − x)(2 + x)，分母提出公因式得 x²(2 + x)，约掉公共的 (2 + x) 后代入 x = −2 即可。

x 趋于 2 时 (4x² + 7x − 2)/(3x² + 8x + 2) 的极限

极限是 14/15。有理函数在分母不为零处连续，先验证 x = 2 时分母为 30 ≠ 0，于是直接代入得 28/30，约分成 14/15，并指出分母的两个零点才是需要另行处理的地方。

x 趋于无穷时 (5x³ − 2x + 1)/(3x³ + 7) 的极限

极限是 5/3。分子分母同除以 x³ 后，其余各项都趋于零，只剩下两个最高次项系数之比。

x 趋于正无穷时 9 - x² 的极限是多少

极限是 -∞。用常数 9 减去无界增长的 x²，函数值会一直往下掉，正对应一条开口向下的抛物线。

x 趋于无穷时 (1/i) 乘 e 的 ix 次方的极限存在吗

极限不存在。先把 1/i 化简成 −i，用欧拉公式展开得 sin x − i·cos x，实部虚部都在 −1 与 1 之间永远振荡；模长恒为 1，点始终沿单位圆匀速绕行，不会收敛。

f(x) = (3+√x)/(4√x) 在无穷远：f(x)→1/4，f(f(x))→7/4

f(x) 的极限是 1/4，f(f(x)) 的极限是 7/4。把分式拆成 3/(4√x) + 1/4 就消掉了无穷比无穷型；求复合极限时内层趋于 1/4 而不是无穷，要用连续性算 f(1/4)，别再套一次同一个结论。

1 的无穷次幂型极限：底数含 e^x − 1 与 cos√x 的选择题

答案是 1，选 D。用 L = exp(lim v(u − 1)) 化归：指数部分等价于 1/x，而底数里 e^x − 1 与 cos√x 的一阶修正恰好相消，使 u − 1 只有 x² 阶，乘积趋于 0，所以极限是 1 而不是 e 的正负二分之一次方。

求极限 ln(1 + 2ˣ)·ln(1 + 2/x) 当 x 趋于正无穷

极限是 2ln2 = ln4 ≈ 1.3863。这是 ∞·0 型：把 2ˣ 提到对数外得 ln(1 + 2ˣ) ~ x·ln2，再用等价无穷小 ln(1 + t) ~ t 得第二个因子 ~ 2/x，两者相乘 x 恰好约掉。

求 x 趋于 −2 时 (2x² + x − 3)/|x − 1| 的极限

答案是 1。分母 |x − 1| 在 x = −2 处等于 3 而不是 0，函数在该点连续，直接代入得 3/3 = 1，根本不用分左右极限讨论。

证明积分之比 a(n+1)/a(n) 当 n → ∞ 时趋于 4/5

把比值写成 1/(1 + x²) 关于正权重的加权平均，该函数在 [1/2, 2] 上单调递减、最大值为 4/5，于是比值恒不超过 4/5；再证明权重全部集中到左端点附近，得到下界，两边夹逼即得极限。

求极限 ln(100x¹⁰⁰ + 5x + 3) / ln(2x²⁰ + 3x² − 2)，x → ∞

答案是 5。对数里只保留最高次项，再用 ln(ab) = ln a + ln b 把指数拉下来变成 ln x 的系数，分子分母同除以 ln x；常数因子 100 与 2 完全消失，极限就是次数之比 100/20。

求 (3n²−4n+9)/(n²+32n+48) − √(n²+n+18) 在无穷远处的极限

答案是负无穷。有理式那部分趋于有限值 3，而根式像 n 一样无限增大；有界量减去无界量，结果必然发散到 −∞。

求 (√(4−x) − 3)/(x²+7x+10) 当 x 趋于 −5 时的极限

极限是 1/18。分子分母在 x = −5 处同时为零，所以给分子乘共轭式、把二次式分解，约去公因式 (x + 5)。

极限 (cos²x − 4cos x + 3)/sin²x 在 x → 0 时等于 1

极限等于 1。把分子看成关于 cos x 的二次式分解为 (cos x − 1)(cos x − 3)，分母写成 (1 − cos x)(1 + cos x)，约去趋于 0 的公因式后化为 (3 − cos x)/(1 + cos x)，代入即得。

提出 cos x，求 (cos x − cos³x)/x² 的极限

答案是 1。提出公因子得 cos x(1 − cos²x) = cos x·sin²x，于是商等于 cos x 乘以 (sin x/x)²，这两个基本极限在 x = 0 处都等于 1。

x → 0 时 (e^x − 1)/x 的极限等于 1：三种做法

极限是 1。它正是 e^x 在 0 处导数的定义；由展开式 e^x = 1 + x + x²/2 + … 也能看出来；用洛必达法则一步就得到。

用泰勒展开求 x → 0 时 (ln(1 + 2x) − 2x)/x² 的极限

极限是 −2。减去 2x 正好消掉 ln(1 + 2x) 的一次项，留下的二次项 −(2x)²/2 再除以 x²，恰好得到 −2。

求 n 趋于无穷时 ln n 除以 n² 的极限

极限是 0。这是 ∞/∞ 型未定式，用一次洛必达法则化成 1/(2n²) 即得；对数比任何正次幂增长都慢。顺带指出函数在 n = √e ≈ 1.65 处才取到最大值，之后才一路衰减。

lim(x→+∞) ln x / √x = 0（∞/∞ 型，洛必达一次）

这是 ∞/∞ 型不定式，极限等于 0。分子分母分别求导：(1/x) ÷ (1/(2√x)) = 2/√x，当 x → +∞ 时趋于 0，一次洛必达就够了。结论也正是「对数的增长慢于 x 的任意正次幂」这个标准事实，可以直接当结论用。

极限 ln(e^x + x) / (x² + 1) 当 x 趋于正无穷

极限是 0。和的对数不能拆开，正确做法是在对数内部提出主导项 e^x，分子化为 x + ln(1 + xe^(−x))，量级恰好是 x；一次比二次，商像 1/x 一样衰减，因而趋于 0。

求极限 −2x − 4 当 x 趋于负无穷：结果是正无穷

极限是 +∞。只有 −2x 这一项随 x 变化，而 x 取绝对值越来越大的负数，乘以负系数 −2 后变成越来越大的正数；再减去固定的 4 也拦不住它继续增大，所以函数发散到正无穷。

用夹逼定理证明 (−1)ⁿ/n 的极限等于 0

极限是 0。分子只在 −1 与 1 之间来回摆动，始终有界，而 n 无限增大，于是绝对值 1/n 把整个数列压到零。

求 n → ∞ 时 n²(1 − cos(2/n)) 的极限

极限是 2。这是 ∞·0 型未定式，令 u = 2/n 化成 4·(1 − cos u)/u²，再用标准极限 (1 − cos u)/u² → 1/2 即得；文中还用泰勒展开和 n = 10⁵ 的数值两次复核。

求 (1 + 1/x) 的 (x²/eˣ) 次方当 x → 0 时的极限

只有右极限有意义，因为 x < 0 时底数为负。形式是 ∞ 的 0 次方，取对数化成乘积 x²ln(1/x)，用 x 的正次幂压过对数得到 0，再取指数还原，极限为 1。

把黎曼和的极限看成定积分来求值

极限等于 98/3 ≈ 32.667。关键是学会从黎曼和里读出 a、b 和 f(x)：2/n 是小区间宽度，3 + 2i/n 是 [3, 5] 上的右端点。

用分子有理化求 (√(3+x) − √3)/x 在 x = 0 处的极限

极限等于 √3/6，约为 0.2887。乘上共轭式把根号清掉，约去 x，再把 x = 0 代进剩下的式子。

x → 2 时 (√(3x − 2) − 2)/(√x − √2) 的极限 = 3√2/2 ≈ 2.1213

极限等于 3√2/2 ≈ 2.1213。这是 0/0 型：令 t = √x 把分母化成线性，整个式子就变成 f(t) = √(3t² − 2) 在 t = √2 处的差商，也就是导数值；也可以分子分母同时有理化，两条路结果一致。

x 趋于 0 时 √(x³ + 4x²)/x 的极限存在吗

极限不存在。从根号里提出 x² 时必须写成 √(x²) = |x| 而不是 x；于是商化为 sgn(x)·√(x + 4)，右极限为 2、左极限为 −2，两侧不相等，原点处有一个大小为 4 的跳跃。

x → 5 时 (√(x+11) − 6)/(x − 5) 的极限为什么不存在

极限不存在。在 x = 5 处分子是 √16 − 6 = −2 而不是 0，所以这是 −2/0 而不是 0/0：从右侧趋于 −∞，从左侧趋于 +∞。

用共轭式求 x = 4 处 (√(x+5) - 3)/(x - 4) 的极限

极限是 1/6。乘上共轭式后分子变成 x - 4，与分母约掉，只剩 1/(√(x+5) + 3) 直接代入求值。

求 x 趋于 3 时 √(x² + 6x − 2) 的极限

极限是 5。先算根号里的式子在 x = 3 处等于 25 > 0，说明根式在该点连续，于是极限可以移进根号内直接代入，得 √25 = 5；取算术平方根，答案是 +5 而不是 ±5。

极限 (sin 3x − 3sin x)/x³ 在 x → 0 时等于 −4

极限值是 −4。分母是 x³，分子就必须展开到三次项：sin 3x 的三次项是 −(9/2)x³，3sin x 的是 −(1/2)x³，一次项 3x 恰好抵消，差为 −4x³；只展开到一阶会得到 0，那是错的。

极限 (sin3x − cos2x)/(2x − π)² 当 x 趋于 π/2 怎么求

极限是 5/8。这是 0/0 型，令 x = π/2 + t 把变量平移到 0，分子化成 cos2t − cos3t，各展开到二阶得 (5/2)t²，再除以分母 4t² 即可。

求极限 (sin3x + x)/(x + sin5x) 当 x 趋于 0

极限是 2/3。这是 0/0 型，用重要极限 sin(kx)/x → k：分子分母同除以 x，分子趋于 3 + 1 = 4，分母趋于 1 + 5 = 6，两者极限都存在且分母不为零，故商为 4/6 = 2/3。

求 x 趋于 π/4 时 (sin 4x + cos 2x)/(4x − π) 的极限

极限是 −3/2。作代换 x = π/4 + t 后，分子变成 −sin 4t − sin 2t，分母变成 4t，于是比值趋于 (−4 − 2)/4。

求 x → 0 时 sin(9x)/cot(12x) 的极限

极限是 0。除以 cot(12x) 等于乘上 tan(12x)，把式子化成 sin(9x)sin(12x)/cos(12x) 后，分母趋于 1 而不是 0，直接代入即可，根本不需要洛必达法则。

x 趋于无穷时 sin(x) 的极限为什么不存在

答案是极限不存在。可以取出两列都趋于无穷的数，一列上 sin x 恒等于 1，另一列上恒等于 −1，函数值永远稳定不到同一个数上。

用夹逼定理证明 x 趋于 0 时 sin(x)/x 的极限

答案是 1，前提是 x 用弧度。夹逼定理配上 cos x ≤ sin(x)/x ≤ 1 即可证明；若改用角度，同一个极限会变成 π/180。

1 的无穷次方型极限 (sin x/x)^(1/(cos x−1)) = e^(1/3)

极限是 e 的 1/3 次方，约 1.3956。这是 1 的无穷次方型未定式，先取对数化成 0/0，再把 ln(sin x/x) 与 cos x − 1 都展开到 x² 阶：−x²/6 除以 −x²/2 得 1/3，取指数即得答案。

x → ∞ 时 sinh x/√(cosh 2x) 的极限是多少

答案是 √2/2，约等于 0.70711。把两个双曲函数都用指数写开，各自提出 e^x 后约掉，剩下的常数就是 1/√2。

x 趋于无穷时 √(36x² + 7x + 49) − 6x 的极限：共轭有理化

极限是 7/12。这是 ∞ − ∞ 型未定式，乘以共轭式消掉根号后，分子分母同除以 x 再取极限；并给出通用结论：√(a²x² + bx + c) − ax 在 a > 0 时极限恒为 b/(2a)。

x → 0 时 tan(2x)/sin(3x) 的极限等于 2/3

把 tan 2x 写成 sin 2x 除以 cos 2x，再让分子分母同除以 x，用 sin(kx)/x 的标准极限；由于 cos 0 = 1，结果就是 2/3。

求 x → 0 时 (tan x - sin x)/x² 的极限：先提出 sin x

极限是 0，因为 tan x - sin x 的量级是 x³/2，比 x² 高一阶。若一上来就把两个函数都换成 x，分子会被错误地化为零。

求 x 趋于 0 时 (tan x / x) 的 1/x 次方的极限

极限等于 1。这是 1 的无穷次方型未定式，先取对数把指数放下来；由 tan x = x + x³/3 + … 知底数以 x² 的速度趋近 1，压过指数 1/x 的发散，故对数极限为 0。

x 趋于无穷时常数 3 的极限 = 3

答案就是 3。式子里根本没有 x，f(x) = 3 是常数函数，图像是一条水平直线。按常数的极限法则，无论自变量趋向何处，极限都等于这个常数本身，所以答案不是无穷，也不是不存在。常见误解是以为「x → ∞ 就一定发散」。

x 从右趋于 0 时 1/x 减去它的整数部分，极限存在吗

极限不存在。这个式子就是 1/x 的小数部分，始终落在 [0, 1) 里，但取 x = 1/n 时值恒为 0，取 x = 1/(n + 1/2) 时值恒为 1/2，由归结原则可知极限不存在；事实上 [0, 1) 中每个数都是子列极限。

级数求和：y/2ʸ 从 1 加到无穷的部分和极限是多少

答案是 2。这其实是一个收敛的差比数列求和：把 S 与 S/2 错位相减，系数逐项相消，剩下首项 1/2、公比 1/2 的等比级数，其和为 1，于是 S/2 = 1，S = 2。

为什么 (2arctan(ρ/δ)/π) 的 ρ 次幂趋于 e^(−2δ/π)

底数是从下方趋于 1 的，所以这个幂趋于 e^(−2δ/π) 而不是 1。该值小于 1，因此方括号里恒为负，它的实对数没有定义。

求 x → ∞ 时 x³·e^(−2x) 的极限：指数压过多项式

极限是 0。先把 ∞·0 改写成 x³/e^(2x) 的 ∞/∞ 型，连用三次洛必达法则，分子降到常数而分母仍然发散；一般地对任意 n > 0、a > 0 都有 x^n·e^(−ax) → 0。

求 (x − 9)/(√x − 3) 当 x → 9 时的极限

答案是 6。把 x 看成 (√x)²，分子就是平方差 (√x − 3)(√x + 3)，第一个因式正好和分母约掉，剩下 √x + 3，代入 x = 9 得 6，连分母有理化都省了。

求 ((x + 3)/(x − 1))^(x + 3) 在无穷远处的极限

极限是 e⁴。把底数改写成 1 + 4/(x − 1)，式子就凑成了标准的 e 型极限，指数在极限里正好贡献出因子 4。

用平方差求 (x² − 16)/(x + 4) 在 x = −4 处的极限

极限是 −8。代入得 0/0，于是把 x² − 16 分解成 (x − 4)(x + 4)，与分母的 x + 4 约掉，再把 x = −4 代入 x − 4。

x → 2 时 (x² − 3x + 2)/(√(5 − x) − √(x + 1)) 的极限 = −√3

极限等于 −√3 ≈ −1.7321。分子分母在 x = 2 处同时为零，属于 0/0 型：分子分解成 (x − 1)(x − 2)，分母乘共轭式 √(5−x) + √(x+1) 后化成 4 − 2x = −2(x − 2)，约掉公因式 (x − 2) 再代入即可。

x 趋于正无穷时 x² − 4 的极限是多少

极限是正无穷。x² 无界增长而 −4 固定不变，所以整个差式向上发散，不存在有限的极限值。

x 趋于 3 时 (x² + 2x − 15)/(x² − 9) 的极限：约去公因式

极限是 4/3。直接代入得 0/0，这说明分子分母都含因式 (x − 3)；分解后约掉这个公因式，再把 x = 3 代入化简后的 (x + 5)/(x + 3)，得 8/6 = 4/3。

x → −4 处的 0/0 型极限：因式分解后约分再代入

当 x 趋于 −4 时，(x² + 5x + 4)/(x² + 3x − 4) 的极限是 3/5。上下在 −4 处都为零，所以先把公因式 (x + 4) 分解出来约掉，再代值。

x 趋于正无穷时 x^(x+1)/(1+x)^x - 1/e 的极限

答案是 +∞。把商改写成 x(1+1/x)^(-x)，可见它按 x/e 的速度增长，减掉常数 1/e 根本压不住这种发散。

(x² − x − 6)/|x + 2| 在 x 趋于 −2 时的极限为何不存在

左极限是 5，右极限是 −5，两者不等，所以双侧极限不存在。分子分解成 (x − 3)(x + 2) 之后，分母的绝对值让 (x + 2) 没法一次性约掉，必须左右分开讨论。

极限 (1+tan5x−cos x)/(√(1−x²) − ⁵√(1+x)) 在 x → 0 时为 −25

极限值是 −25。分子分母都是 0/0 型，各展开到一次项：分子首项是 5x，分母里 √(1−x²) 没有一次项，只剩 −x/5，约去 x 后得 5 ÷ (−1/5) = −25。注意 cos x 对一阶不作贡献。

含两个根号的 0/0 型极限：x 趋于 2 时怎么算

极限是 5/16。关键是把常数 −3 拆成 −(2 + 1)，让两个根号各自减去它在 x = 2 处的值，再分别用共轭有理化提出因子 (x − 2)，与分母 (x − 2)(x + 2) 约掉后直接代入；洛必达法则可以复核。

沿圆 x² + y² = 4 右半部分的曲线积分怎么算

答案是 16/3 + 2sin 2。先把恰当微分那部分拆出来、用两个端点直接算出，剩下的部分再用 x = 2cos t、y = 2sin t 参数化求解。

x 接近 y 时 ln(x/y) 的近似：它就是相对变化率

答案是 ln(x/y) ≈ (x−y)/y，也就是相对变化率。再补上级数的下一项 −((x−y)/y)²/2，误差就能压到远低于百分之一。

在 64 处做线性近似，估算 62.5 的立方根

把 f(x) = (64 + x)^(1/3) 在 x = 0 处线性化得 L(x) = 4 + x/48，于是 62.5 的立方根约为 3.96875，精确值 3.968503，误差 0.00025。

用 Beta 函数计算 ln(x)/(x^0.9(1−x)^0.1) 的积分

结果是 (π/sin(π/10))(ψ(0.1) + γ) ≈ −100.1039。对 B(a, b) 关于 a 求导时必须保留分母上的 Γ(a+b)，否则答案会偏负约 6%。

(sin x)^(cos x) 求导 = 原式 ×(cos²x/(sin x) − sin x·ln sin x)

导数是 (sin x)^(cos x) 乘以 (cos²x/(sin x) − sin x·ln(sin x))。底数和指数都含 x，幂函数法则与指数函数法则都用不上，两边取自然对数再隐函数求导，最后别忘了把 y 换回原式。

1/(1 + x)² 的麦克劳林级数展开到 x⁷ 项

结果是 1 − 2x + 3x² − 4x³ + 5x⁴ − 6x⁵ + 7x⁶ − 8x⁷ + …，通项为 (−1)ⁿ(n + 1)xⁿ。不必求七阶导数，只要把几何级数 1/(1 + x) 逐项求导再取负号即可，收敛半径仍是 |x| < 1。

sin x 的麦克劳林级数展开到 x 的 7 次项

结果是 x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + O(x⁹)。正弦的各阶导数以 4 为周期循环取 0、1、0、−1，偶数阶导数在 0 处全为零，所以只剩奇次项；这与 sin x 是奇函数完全吻合。

把 tan x / (1 + x²) 展开成到 x⁷ 项的麦克劳林级数

级数是 x − (2/3)x³ + (4/5)x⁵ − (47/63)x⁷ + O(x⁹)。把正切的级数与 1/(1 + x²) 的几何级数相乘，再收集到 x⁷ 为止的同次项。

求 tanh(10⁻¹³x)/x 的麦克劳林级数展开到 x¹⁰ 项

从 tanh z 的标准展开出发，因为除以 x 会让每一项降一次，所以必须先展开到 z¹¹ 才够用；代入 z = 10⁻¹³x 后逐项除以 x，得到只含偶次幂的级数，常数项 10⁻¹³ 正好补上可去间断点。

向量叉乘的混合二阶偏导数怎么求

A × B = 3yz i − 4xz j − xy k，先对 x 再对 y 求偏导得到常向量 −k，与点 (1, 2, 1) 无关。最后交换求导次序，用克莱罗定理验证两种顺序结果一致。

证明：单调、非负且无界的 f 在 [a, ∞) 上的反常积分必发散

单调加无界加非负，逼得 f 只能是单调不减并趋于无穷，于是从某点起 f ≥ 1，尾部积分不小于区间长度，而区间长度可以无限增大。

牛顿冷却定律：90°C 的咖啡 20 分钟后几度，降到 30°C 要多久

20 分钟后约 48.9°C，降到 30°C 约需 44 分钟。先用“10 分钟降到 65°C”定出冷却常数，得到 10 分钟的衰减因子恰好是 9/14；算 20 分钟只需把它平方，从而避开小数舍入带来的偏差。

求 4/(x² · 2 的 1/x 次方) 当 x → 0 的极限：两侧完全不同

极限不存在。1/x 在零点两侧变号：右侧换元 t = 1/x 后化为 4t² 除以 2 的 t 次方，趋于 0；左侧则化为 4t² 乘 2 的 t 次方，趋于 +∞。两个单侧极限不一致，双侧极限就不存在。

参数 a 取何值时方程 cos√(a − x²) = 1 恰有 8 个根

答案是开区间 36π² < a < 64π²。由 cos θ = 1 得 √(a − x²) = 2πk，化成 x² = a − 4π²k²；每一层严格为正时贡献 2 个根，要凑够 8 个就得让 k = 0,1,2,3 全部通过而 k = 4 不通过，两个端点因为给出奇数个根必须排除。

求 100Vy/(Vm + Vm20(t − 20)b) − 100 对 t 的偏导数

把分母记作 D，对 D⁻¹ 用链式法则，得 ∂d/∂t = −100·Vy·Vm20·b / (Vm + Vm20(t − 20)b)²。末尾的 −100 是常数，求导后消失。

用商法则求气体体积公式对 Pa 的偏导数 ∂V/∂Pa

除了比值 (Pg − Pa)/(Pv − Pa)，公式里其余因子都与 Pa 无关。先把这些常数提出来，再对剩下的比值用一次商法则，就得到 ∂V/∂Pa = 1000M(Pg − Pv) / [Pg(1 + (t − 20)b)(Pv − Pa)²]。

ln(x² + y²) 对 x 的偏导数怎么求：链式法则详解

答案是 2x/(x² + y²)。把 y 当成常数，内层求导就只剩 2x，外层对数贡献 x² + y² 的倒数，两者相乘即得结果。

x²y + y sin x 对 x 求偏导：把 y 当常数逐项求导

答案是 2xy + y cos x。把 y 冻结成常数后它只是个系数，于是只需对 x² 和 sin x 逐项求导，全程用不上乘积法则。

含根式商的对数偏导数：z_x = −2/√(x²−y²)，z_y = 2x/(y√(x²−y²))

对 z = ln((x − √(x²−y²))/(x + √(x²−y²)))，两个一阶偏导数是 z_x = −2/√(x²−y²)，z_y = 2x/(y√(x²−y²))。先把商的对数拆成两个对数之差，再用链式法则求导，最后代数值验算。

ax + b 分别对 a 和对 b 求偏导数怎么算

对 a 的偏导数是 x，对 b 的偏导数是 1。求偏导时，除了被求导的那个字母，其余符号一律当常数冻住，所以 x 在这两问里都是常数。

dy/dx = 3x²(y − 4) 且 f(0) = 6 的特解是 y = 4 + 2e^(x³)

特解是 y = 4 + 2e^(x³)。先分离变量，积分得到 ln|y − 4| = x³ + C，再取指数，最后用 f(0) = 6 定出常数为 2。

由 x = 2 处的条件求 f'' = 2 的特解：f(x) = x² + x + 4

特解是 f(x) = x² + x + 4。把 f'' = 2 连续积分两次，先用 f'(2) = 5 定出 C₁ = 1，再用 f(2) = 10 定出 C₂ = 4。

极坐标下 r = 2 sin θ 与 r = 4 sin θ 在 π/3 到 π/2 之间的面积

面积为 π/2 + 3√3/4 ≈ 2.8698。配方后两条曲线都是过原点的圆，化到极坐标就是 r = 2 sin θ 和 r = 4 sin θ，两条直线把 θ 限定在 π/3 到 π/2。

心形线 r = a(1 − cos θ) 上二重积分 r³cos²θ 的值 49πa⁴/32

答案是 49πa⁴/32。先对 r 积分得到 a⁴(1 − cos θ)⁴/4，把四次方展开后奇数次余弦项在整个周期上积分为零，剩下的偶次项代入 Wallis 值 π、3π/4、5π/8 即可。

极坐标二重积分 ρ²sinθ：从 ρ = 2sinθ 到 2 怎么算

答案是 4√2/3 − π/4 − 2/3，约 0.43355。先对 ρ 积出 ρ³/3，再用降幂公式把 sin⁴θ 化开，最后在 θ 从 π/4 到 π/2 上合并。

极坐标二重积分：内层积分下限带根号、结果冒出对数

答案是 1/2。对 1/r 做内层积分会得到下限的对数，剩下的 θ 积分再换元后化成经典结果 ∫ sin u ln(sin u) du。

若 ∫eᶠ sin x ln f dx = 0，则存在 x₁ 使 f(x₁) = 1

若 f 处处不等于 1，则 ln f 连续且恒不为零，由介值定理它必保持同号，被积函数就严格同号，积分不可能为 0，矛盾。

求和 x^(n−1)/n（n 从 1 到无穷）等于 −ln(1−x)/x

当 0 < |x| < 1 时和为 −ln(1−x)/x，在 x = 0 处可去，补充定义为 1。把一个 x 提到求和号外，就化归成标准的 −ln(1−x) 级数。

求 x^n/n^2 从 n = 1 到无穷的和：二重对数函数 Li2(x)

这个和就是二重对数函数 Li2(x)，在 |x| ≤ 1 上收敛。它没有初等封闭形式，但在 x = 1 处等于 π²/6，在 x = −1 处等于 −π²/12。

两端极限都等于同一个 A 时，证明存在 ξ 使 f′(ξ) = 0

结论：若 f 在 [a, +∞) 上可导，且在 a 的右极限与 x → +∞ 时的极限都等于同一个有限数 A，则必有一个最大值或最小值被夹在区间内部，再由费马定理得 f′(ξ) = 0。

证明每个实数列都有单调子列：峰点法

若对一切 m > n 都有 a_n ≥ a_m，就称 n 是峰点。峰点有无穷多个时可取出一个非增子列；峰点只有有限个时，则能构造出严格递增子列。

证明可导一定连续：乘 (x−a) 再除回去的技巧

把 f(x) − f(a) 写成差商乘 (x − a)。差商趋于 f′(a)，(x − a) 趋于 0，乘积就趋于 0，于是 f(x) 趋于 f(a)。

用数学归纳法证明莱布尼茨公式 (fg)⁽ⁿ⁾ = Σ C(n,j) f⁽ⁿ⁻ʲ⁾ g⁽ʲ⁾

对 n 作归纳：把第 n 阶的公式再求一次导，得到两个和式，同类项靠帕斯卡法则 C(n,j) + C(n,j−1) = C(n+1,j) 合并，正好凑出 n+1 的情形。

用 C = e^(−kt)u 换元解 dC/dt = D d²C/dx² − kC

换元 C(x,t) = e^(−kt) u(x,t) 恰好把衰减项抹掉，剩下标准的热传导方程 u_t = D u_xx，它的解全是现成的。

求 ∫sin²ⁿx dx：分部积分的降幂递推公式与余弦求和的显式闭式

递推公式是 Iₙ = −sin²ⁿ⁻¹(x)cos(x)/(2n) + (2n−1)/(2n)·Iₙ₋₁，且 I₀ = x；改用降幂恒等式展开，则可得到一个显式的余弦求和表达式。

交换积分次序算 e^(y³) 的二重积分，结果是 (e⁸ − 1)/6

积分值是 (e⁸ − 1)/6。由于 e^(y³) 对 y 没有初等原函数，必须换成 dx dy 的次序，让内层积分正好补上换元所需的 y² 因子。

先改写再求导：1/√x、x/2 − 2/x 等四个含根式与分式的函数

四个导数依次是 −1/(2x^(3/2))、1/2 + 2/x²、(3/2)√x − 2x 和 18x。每个函数都要先改写成幂的和，幂函数求导法则才用得上。

把 ln(x + √(a + x²)) 写成 arsinh(x/√a) + (1/2)ln a

当 a > 0 时，该式等于 arsinh(x/√a) + (1/2)ln a。因为根号里的常数是 a 而不是平方数，缩放因子取 √a，附加的常数就只有半个对数。

把 ln(x + √(a² + x²)) 化成 arsinh(x/a) + ln a

当 a > 0 时，这个表达式等于 arsinh(x/a) + ln a。在括号里同除以 a 就凑成标准形 ln(u + √(u² + 1))，多出来的 a 变成 ln a。

证明当 p 趋于无穷时 f(x)cos(px) 的积分趋于 0

极限是 0。证明的路子是：用阶梯函数逼近黎曼可积的 f，把阶梯情形精确算出来，再用 ε 把误差项控制住。

f'' = 6x − 12 时 x = 1 处的二阶导数判别：f 取极大值

f 在 x = 1 处取极大值。x = 1 是驻点意味着 f'(1) = 0，而 f''(1) = 6(1) − 12 = −6 < 0，所以曲线在该点向下弯。

用特征方程解微分方程 X'' = −0.1X

X(t) = C1 cos(t/√10) + C2 sin(t/√10)。特征方程 r² + 0.1 = 0 的根是纯虚数，所以每个解都会永远振荡下去。

用降阶法解 y'' = eʸ：先得首次积分 (y′)² = 2eʸ + C₁

答案：(y′)² = 2eʸ + C₁，显式解为 y = ln(C₁/2) − 2ln|sinh(√C₁ (x − x₀)/2)|。窍门是把 y′ 看成 y 的函数，而不是 x 的函数。

解方程组 x″ + y″ = t²、x″ − y″ = 4t（初速度均为零）

解是 x = t⁴/24 + t³/3 + 8 和 y = t⁴/24 − t³/3。把两个方程相加、相减即可解耦，剩下的只是两次直接积分。

分离变量解 dx/dy = a·x^(2/3)：通解加上奇解 x = 0

答案：x = ((a/3)y + C)³，另加一个奇解 x = 0。两边同除 x^(2/3) 后剩下的是指数为 −2/3 的幂函数积分，其原函数是 3x^(1/3)。

用分离变量法解 dy/dx = 3 − 4y

答案是 y = 3/4 + Ce^(−4x)。分离变量得到 −1/4 ln|3−4y| = x + C，而 3/4 正是 x 增大时解会趋向的稳定平衡值。

用分离变量法解 dy/dx = eʸ，通解是 y = −ln(C − x)

通解是 y = −ln(C − x)，且只在 x < C 上有定义。分离变量得到 e^(−y)dy = dx；当 x 趋于 C 时，解在有限的 x 处就发散掉了。

分离变量解 dy/dx = ky：通解 y = Ce^(kx) 就是指数增长定律

通解是 y = Ce^(kx)。分离变量得 dy/y = k dx，对 ln|y| = kx + C 取指数后，符号和常数都被吸收进同一个 C 里。

分离变量解 dy/dx = ((2y+3)/(4x+5))²：隐式通解与奇解

答案：1/(2y+3) = 1/(8x+10) + C，另有奇解 y = −3/2。把平方后的商拆开，使每一边只剩一个变量，再分别积出两个 u 的 −2 次幂。

用分离变量法解 dy/dx = y²，通解是 y = 1/(C − x)

答案是 y = 1/(C − x)。对 y⁻² 积分得 −1/y = x + C；每个非零解都在 x = C 处发散，只能存活有限的一段区间，另外还有奇解 y = 0。

解 dy/dx = y：为什么答案是 y = Ce^x

答案是 y = Ce^x。分离变量得到 ln|y| = x + C，把 e^C 并进一个常数 C 之后，它就能取任意实数，连 0 也包括在内。

分离变量解 dy = dx/(y − 1)²：(y − 1)³ = 3x + C

答案是 (y − 1)³ = 3x + C，即 y = 1 + 3x + C 的立方根。乘上 (y−1)² 就完成了分离变量，而开立方不需要带正负号。

用部分分式解可分离方程 y² + a y' = b：解是 √b·tanh(√b x/a + C)

当 b > 0 时答案是 y = √b·tanh(√b x/a + C)。分离变量得到 dy/(b − y²)，它的积分用部分分式一拆，就成了一个比值的对数。

两个对数级数相减，求出 ln((1+x)/(1−x)) 的幂级数

答案是 2x + 2x³/3 + 2x⁵/5 + …，在 |x| < 1 上成立。用 ln(1+x) 的级数减去 ln(1−x) 的级数，偶次项全部抵消，奇次项则翻倍。

级数 Σ n/3ⁿ 收敛吗？比值判别法判定收敛，和为 3/4

级数收敛：比值判别法给出 L = 1/3 < 1；再用差比数列的求和公式，得到精确值 3/4。全过程逐步给出完整论证。

为什么 1/(3cos³x + sin2x + sin²x) 在 [−π/4, 3π/4] 上的积分发散

答案：它发散。分母在区间内部的 x = 1.9569768 处有一个单零点，被积函数在那附近像 1/(x − c)，而这样的函数是不可积的。

验证 x = sin(kt) + cos(kt) 满足 x″ + k²x = 0

求两次导数得 x″ = −k²(sin kt + cos kt)，正好等于 −k²x。链式法则让每求一次导就带出一个因子 k。

在 [−7, 0] 上作 f(x) = −2x²eˣ 的图像：最小值、拐点与值域

曲线一路下降，在 x = −2 处取到最小值 −8/e² ≈ −1.0827，随后回升到 x = 0 处的 0。拐点在 x = −2 ± √2，整条图像都在 x 轴上或轴下方，值域为 [−8/e², 0]。

y = √(9x² − 6x + 3) 的斜渐近线是 y = 3x − 1，曲线在其上方

当 x 趋于正无穷时斜渐近线是 y = 3x − 1，且曲线始终在它上方。先配方把根号下写成 (3x − 1)² + 2，再用共轭因式把 ∞ − ∞ 化成分式求极限。

分离根式解 dy/dx + √(1 + (dy/dx)²) = eˣ，得 y = cosh x + C

解是 y = cosh x + C。把根式单独移出再平方，p² 项恰好抵消，剩下 p = (eˣ − e⁻ˣ)/2 = sinh x，直接积分即可。

用积分因子解 dy/dx = 2y − x：通解 y = Ce^(2x) + x/2 + 1/4

通解是 y = Ce^(2x) + x/2 + 1/4。先化成一阶线性标准形，积分因子 e^(−2x) 把左边凑成一个乘积的导数，右边那个积分要用分部积分。

解微分方程 dy/dx = 6 − y/2：通解 y = 12 + Ce^(−x/2)，平衡解 y = 12

通解是 y = 12 + Ce^(−x/2)。改写成 y′ + y/2 = 6 就看出这是一阶线性常微分方程，用积分因子 e^(x/2) 即可求解；平衡解 y = 12 会把其余所有解都吸引过去。

用积分因子 e^(2x) 解 dy/dx + 2y = e^(3x)：y = (1/5)e^(3x) + Ce^(−2x)

通解是 y = (1/5)e^(3x) + Ce^(−2x)。积分因子只由 P(x) = 2 决定，仍是 e^(2x)；不同之处在于右边乘出来是 e^(5x)，积分给出 e^(5x)/5，那个 1/5 就是这么来的。

解常系数方程 dy/dx + ay = b：通解 y = b/a + Ce^(−ax)

当 a ≠ 0 时通解为 y = b/a + Ce^(−ax)。常数 b/a 就是解要趋向的平衡值；而 a = 0 时方程退化，解变成 y = bx + C。

由 f(x)/f′(x) = tan((k−1)x) 求函数 f：f(x) = C|sin((k−1)x)|^(1/(k−1))

答案是 f(x) = C|sin((k−1)x)|^(1/(k−1))。把比值倒过来写成 f′/f = cot((k−1)x)，左边正好是 ln|f| 的导数，积分后再取指数即可。

用积分因子解 (t−1)ẋ − x + 1 = t：通解 x(t) = (t − 1)(ln(t − 1) + C)

当 t > 1 时通解为 x(t) = (t − 1)(ln(t − 1) + C)。先除以 t − 1 化成标准线性形式，取积分因子 1/(t − 1)，左边就凑成 (x/(t − 1)) 的导数，再积分一个 1/(t − 1) 即可。

把 (eʸ + 6x)dx + xeʸ dy = 0 当全微分方程解：隐式通解 xeʸ + 3x² = C

隐式通解是 xeʸ + 3x² = C。全微分条件 ∂M/∂y = ∂N/∂x = eʸ 成立，说明势函数存在，把 M 对 x 积分就能把它构造出来。

用复特征值解线性方程组 x′ = x − 2y、y′ = 2x + y，轨线是向外旋出的螺线

通解是 x = e^t(C₁cos2t + C₂sin2t)，y = e^t(C₁sin2t − C₂cos2t)。系数矩阵的特征值是 1 ± 2i，实部为正、虚部给出转动，所以轨线是从原点向外旋出的螺线。

共振情形下解 y″ − 3y′ + 2y = eˣ：y = C₁eˣ + C₂e^(2x) − xeˣ

通解是 y = C₁eˣ + C₂e^(2x) − xeˣ。因为 eˣ 本身已经是齐次方程的解（发生共振），待定系数法的试探解必须先乘上 x，取 y_p = Axeˣ 才行，代入后解出 A = −1。

解重根情形的 y″ + 2y′ + y = e^(3x)，通解 y = (C₁ + C₂x)e^(−x) + e^(3x)/16

y = (C₁ + C₂x)e^(−x) + e^(3x)/16。特征方程 (r + 1)² = 0 给出重根 r = −1，所以齐次解要配一个 x 因子；再用待定系数法取 Ae^(3x)，代入即得 16A = 1。

解 y″ + 2y′ + y = e^(−x)：重根共振，通解 y = e^(−x)(C₁ + C₂x + x²/2)

答案是 y = e^(−x)(C₁ + C₂x + x²/2)。特征根 −1 是重根，所以试解要额外乘 x²，而不是只乘一个 x。

解微分方程 y'' + 4y = 0：特征根为纯虚数，通解 y = C₁cos2x + C₂sin2x

通解是 y = C₁cos(2x) + C₂sin(2x)。特征方程 r² + 4 = 0 给出 r = ±2i，实部为零说明既不增长也不衰减，角频率恰好是 2。

解 y″ + y = 0：简谐振动方程的通解 y = C₁cos x + C₂sin x

通解是 y = C₁cos x + C₂sin x。特征方程 r² + 1 = 0 的根是 ±i，对应角频率为 1 的振动，周期恰好是 2π。

用常数特解解 y″ + y = 12：y = C₁cos x + C₂sin x + 12

答案是 y = C₁cos(x) + C₂sin(x) + 12。特征根是 ±i，对应无衰减的振动；右端是常数 12，取常数试探解立刻得到特解 12。解在 y = 12 这条平衡线上下以 2π 为周期振动。

裂项求和：n 从 1 到无穷的 1/(4n² − 1) 之和等于 1/2

该级数的和是 1/2。把 4n² − 1 分解成 (2n−1)(2n+1) 再拆成部分分式，中间各项就会两两相消。

1/(n(n+2)) 从 n=1 到无穷的级数和等于 3/4

和是 3/4。裂项后得到 (1/2)(1/n − 1/(n+2))，这是一个错开两项的裂项相消级数，因此前面留下两项，极限恰好是 3/4。

级数 Σ 2ⁿ/n! 从 n = 0 求和：用 eˣ 展开式得 e²

和是 e² ≈ 7.389。它就是指数级数 Σxⁿ/n! 在 x = 2 处的取值；若改从 n = 1 开始求和，就少了 n = 0 那一项，结果变成 e² − 1。

求级数 2k/2ᵏ 从 k = 1 到无穷的和：答案是 4

级数的和等于 4。把常数 2 提出来后剩下 Σ k(1/2)ᵏ，用公式 x/(1−x)² 在 x = 1/2 处算得 2，所以总和是 2 乘 2。

级数 Σ ln(n)/n² 求和：证明它等于 −ζ′(2) ≈ 0.9375

答案是 −ζ′(2) ≈ 0.9375482543。把 ζ(s) = Σ n⁻ˢ 逐项求导会得到 −ln n · n⁻ˢ，于是取 s = 2 就正好认出了这个级数。

用裂项相消求 n/(n+1)! 从 n=1 到无穷的和：答案恰好是 1

级数的和恰好等于 1。把分子 n 写成 (n+1) − 1，通项就裂成 1/n! − 1/(n+1)!，部分和相消后只剩 1/1! 减去一个趋于零的尾项。

用 −ln(1 − x) 展开式求 1/(n·2ⁿ) 的级数和等于 ln 2

级数和等于 ln 2 ≈ 0.6931472。把 1/(n·2ⁿ) 改写成 (1/2)ⁿ/n，对上墨卡托级数 −ln(1 − x) = Σ xⁿ/n（|x| < 1），再代入 x = 1/2 化简即可。

平面 z = −2x + 4y + 1 在 3×5 矩形上方的曲面面积是 15√21

面积是 15√21，约 68.74。平面的曲面面积被积函数是常数，所以答案就是 √(1 + fx² + fy²) 乘以底面矩形的面积。

曲线 y = 3x⁴ − 6x² + 2 在 x = 2 处的切线是 y = 72x − 118

斜率是 72，切点是 (2, 26) 而不是 (2, −2)，所以切线方程为 y = 72x − 118。文中还说明了如何验算并纠正题面印错的纵坐标。

求 a/(4b(x+b))·exp(−4b/(x+2b)) 在 x = 0 处的泰勒展开：一次项和二次项都为零

展开式是 (a e⁻²)/(4b²)·(1 − x³/(12b³) + x⁴/(8b⁴) + …)。一次项与二次项恰好相消；先做换元 t = x/b，整个展开就与参数 b 无关了。

把 2ˣ 写成 e^(x ln 2) 求它在 x = 0 处的泰勒级数

麦克劳林级数是 Σ (ln 2)ⁿ xⁿ / n! = 1 + 0.6931x + 0.2402x² + …，对一切实数 x 都成立。做法是把 2ˣ 化成 e^(x ln 2)，直接套指数函数的级数。

3 sin x/cos²x + sin 2x 在 x = 0 处展开到 5 次：5x + (7/6)x³ + (61/24)x⁵

五次泰勒多项式是 5x + (7/6)x³ + (61/24)x⁵。做法是把 sin x 与 sec²x 的级数相乘，再加上 sin 2x 的级数。

eˣ 在 x = 0 处的泰勒展开：各阶导数全为 1，级数是 Σ xⁿ/n!

展开式是 n ≥ 0 时 xⁿ/n! 的求和，即 1 + x + x²/2! + x³/3! + …，因为 eˣ 的各阶导数都还是 eˣ，在 x = 0 处全等于 1。它对一切实数 x 收敛。

ln(√(x²+1)+x) 的泰勒级数：对 f′(x) 逐项积分得 x − x³/6 + 3x⁵/40 − …

在 [−1, 1] 上 ln(√(x²+1)+x) = x − x³/6 + 3x⁵/40 − 5x⁷/112 + …。这个函数就是反双曲正弦，求导后变成 1/√(1+x²)，再用二项级数展开即可。

用二项级数求 √(1+2x) 在 x = 0 的泰勒展开：1 + x − x²/2 + x³/2 − 5x⁴/8 + …

答案是 1 + x − x²/2 + x³/2 − 5x⁴/8 + …，收敛区间为 |x| ≤ 1/2。取 α = 1/2、t = 2x 套二项级数即可，关键是每一项都别把 2 的幂丢掉。

√(x²+1) 在 x = 0 处的泰勒级数：只含偶次幂

结果是 1 + x²/2 − x⁴/8 + x⁶/16 − 5x⁸/128 + …，收敛区间为 [−1, 1]。在 α = 1/2 的二项级数里代入 t = x²，留下的就只有 x 的偶次幂。

分母带根号的裂项级数：和为 1/√2 ≈ 0.7071

级数 1/(√(n+1)(n+2) + (n+1)√(n+2)) 的和是 1/√2。把分母因式分解后，通项就化成 1/√(n+1) 减去 1/√(n+2)。

三个极限的三种算法：直接代入、因式分解、共轭化，答案 5、8、1/4

三个答案分别是 5、8 和 1/4。第一个靠连续性直接代入，第二个约掉 (x−3)，第三个 0/0 型乘共轭式化开。

锥面与抛物面之间求 x 的三重积分：结果是 π/12

积分值是 π/12。绕 x 轴用柱坐标：两曲面在 r = 1 处相交，立体沿 x 从 r² 到 r，体积元是 r dx dr dθ。

2x − 2yz 在平面围成的楔形区域上的三重积分等于 −466/5

精确值是 −466/5。先对 z 积到 −2x + 4y − 4，再对 y 积到 2x − 2，最外层被积函数是 x 的四次多项式，从 2 积到 3 得 −466/5。

三重积分 3az²sin y + 2z³sin y cos y 的值是 3πa⁴/2

积分值等于 3πa⁴/2。被积函数里根本没有 x，所以对 x 积分只是乘上 2π；对 z 和对 y 积分分别给出 a⁴ 和 3/4。

长方体区域上 4x²yz³ 的三重积分等于 15/2

积分值是 15/2。长方体的上下限都是常数，被积函数又是乘积形式，所以按 x、y、z 的顺序逐层积分，每一层都把常数先提出来。

长方体区域上 4x²yz³ 的三重积分：结果是 19/2

积分值是 19/2。被积函数在长方体上恰好是 x 的函数、y 的函数、z 的函数之积，所以三重积分可以拆成三个一元积分相乘。

−2y 在抛物面 z = 9 − x² − y² 下方的三重积分等于 −648/5

精确值是 −648/5。先对 z 积分留下 −2y(9 − x² − y²)，对 y 积分后合并成 −(9 − x²)²/2，最后再用柱坐标从另一条路验证。

−5x + 5yz 且 y 上下限反向的三重积分：结果恰好是 25/2

答案精确等于 25/2。因为 x > 1 时 5 − 5x 为负，y 的积分限是反向的；把这个方向带进累次积分算下去，结果是 +25/2。

抛物面下半圆盘区域上 −5y 的三重积分：精确值是 −188

答案精确等于 −188。先对 z 积分得 −5y(9−x²−y²)；对 y 积分后收缩成 −(5/4)(9−x²)²，最后 x 从 −1 到 1 积出 −188。

圆锥与球之间 sin((x²+y²+z²)^(3/2)) 的三重积分怎么算

答案是 2π(1 − √3/2)(1 − cos 1)/3 ≈ 0.128989。换成球坐标后，圆锥变成固定的 φ = π/6，被积函数也只剩 ρ 一个变量。

抛物面围成的立体上 x 的三重积分等于 0

x 在 z = x² + y² 内部、上界 z = 3 的立体上的积分是 0。区域关于平面 x = 0 对称，而被积函数关于 x 是奇的，正负恰好抵消。

x + 2y + 3z 在单位四面体上的三重积分等于 1/4

答案是 1/4。由对称性，x、y、z 在四面体上的积分都等于 1/24，所以加权总和就是 (1 + 2 + 3)/24，即 6/24。

x² + y² 在抛物面内部的三重积分：用柱坐标算得 336π

积分值是 336π。换成柱坐标后被积函数就是 r²，截面圆盘半径为 √(2z)，整个计算最后化成 2π∫z² dz。

抛物面内部 x²y² 的三重积分：用柱坐标算得 340π

积分值等于 340π。换成柱坐标后，对 2 ≤ z ≤ 8 有 r ≤ √(2z)；把角向因子 cos²θ sin²θ 单独分离出来，它积分后给出 π/4。

单位球体上 x² + y² + z² 的三重积分等于 4π/5

积分值是 4π/5 ≈ 2.5133。换成球坐标后被积函数变为 ρ⁴sinφ，三个积分可以分离成 2π 乘 2 乘 (1/5)。

z = x² + y² 内部、z = 3 以下 xyz 的三重积分等于 0

积分值是 0。在柱坐标下角向因子是 cos θ sin θ 在整整一圈上的积分，它为零，所以径向和 z 方向根本不用算。

用分离变量算 xyz 在单位立方体上的三重积分，结果是 1/8

积分值是 1/8。立方体的积分限都是常数，被积函数又是各单变量因子的乘积，所以三重积分就是 (1/2)³ —— 每个方向各贡献一个 1/2。

四面体上 xyz·e^(−x−y−z) 的三重积分：答案是 1 − e^(−k) 乘 eᵏ 级数前六项

答案是 1 减去 e^(−k) 乘 eᵏ 展开式的前六项。用单纯形上的体积标度公式，可以把三重积分化成一个伽马型的一元积分。

xz 的三重积分因奇函数对称性而恰好等于 0

积分值是 0。先对 z 再对 y 积分后，问题化为 (x − x⁷)/6 在 [−1, 1] 上的积分——奇函数在对称区间上积分，正负恰好抵消。

z = y² 与平面 z = 4 之间 yz 的三重积分等于 64π/3

积分值是 64π/3。z 从 y² 积到 4，内层积分给出 (16 − y⁴)/2，于是对 y 积分的被积函数是 8y − y⁵/2，x 方向再贡献一个因子 2π。

z 从 0 到 x² 时 yz 的三重积分：结果是 32π⁵/5

积分值是 32π⁵/5。里层 z 的上限依赖 x 而不是 y，先对 z 再对 y 积分后只剩下 x⁴，而上限 2π 就带出了 π⁵。

z 从 0 积到 y² 时 yz 的三重积分等于 32π/3

积分值是 32π/3。被积函数和 z 的上限都含 y，内层积分并成 y⁵/2；x 方向什么也不含，只贡献一个 2π 的因子。

z² 在单位球面与圆锥 z = r 之间的三重积分等于 π(4 − √2)/30

积分值是 π(4 − √2)/30，约 0.270783。用柱坐标时，圆锥给出 z 的下限、球面给出上限，两者在 r = 1/√2 处相交。

把 3x + y + z ≤ 3 上的三重积分换成 dy dx dz 次序：结果是 3/2

积分值是 3/2。积分区域是截距为 x = 1、y = 3、z = 3 的四面体，所以按先 y、再 x、最后 z 的次序积分，算出的仍是同一个体积。

平面围成的区域上 2x − 4yz 的三重积分等于 −268

答案是 −268。区域由嵌套不等式给出，按 dz dy dx 的次序逐层积分，每一层代入上限后再展开，全程保持精确分数运算。

积分限带小数的三重积分求体积：结果约为 0.7342

体积约为 0.7342。z 的上下限对称，里层积分就是根号的两倍；对 y 积分贡献一段长度；最后对 x 的积分只能数值计算。

每个积分限都反向的三重积分：4x + 5y − 19z 的结果是 612

积分值是 612。三个积分限都是从大积到小，三次变号相乘刚好得到一个负号，而计算时要从最内层的那一重开始做。

两端极限分别为 a 和 −a 时，函数有两条水平渐近线

只要 a 是有限且非零的数，就有两条水平渐近线 y = a 和 y = −a。若 a = 0，两条线重合，就只剩 y = 0 这一条。

Σ 1/(1 + n² ln n) 的一个上界：1 + (π²/6 − 1)/ln 2 = 1.93044

由 n ≥ 2 时 ln n ≥ ln 2，可得一个干净的上界 1 + (π²/6 − 1)/ln 2 = 1.93044。级数真值约为 1.4976，可见这个界稳妥但不紧。

求 a 使分段函数在 x = 2 处连续：a = 2

a = 2。要在衔接点连续，x² + 2x − 3 的左极限 5 必须等于右段的函数值 2a + 1，于是 2a + 1 = 5。

(x + 4)/(x + m) 在 (−∞, −7) 上单调递增的 m 取值范围是 (4, 7]

导数的分子是 m − 4，所以 m > 4；同时极点 x = −m 不能落在 (−∞, −7) 内，于是 m ≤ 7。答案是半开区间 (4, 7]。

s = 5t³ + 3t + 8 在 t = 5 s 时的速度 378 m/s、加速度 150 m/s²

求一次导得 v = 15t² + 3，求二次导得 a = 30t，所以在 t = 5 秒时速度是 378 m/s，加速度是 150 m/s²。

由加速度 a(t) = t² − 2t + 3 和 v(1) = 8 积分求出 v(3) = 44/3 m/s

v(3) = 44/3 m/s。加速度在 [1, 3] 上的定积分给出速度的改变量，所以 t = 1 处的初始条件放到最后再加上去。

半径 2 的球内、x² + y² ≥ z² 部分的体积是 16√2π/3 ≈ 23.695

体积是 16√2π/3，约 23.695。在球坐标下条件 x² + y² ≥ z² 就是 π/4 ≤ φ ≤ 3π/4，而 ρ 和 θ 都跑满全程。

y = x² 与 x = y² 围成的区域绕 y 轴旋转：垫圈法求得体积 3π/10

把两条曲线都改写成用 y 表示 x：外半径是 √y，内半径是 y²。于是 V = π 乘以 y − y⁴ 从 0 到 1 的积分，等于 3π/10。

旋转体体积：y = x² + 5 绕 x 轴旋转一周得 3500π/3 ≈ 3665.19

把 y = x² + 5 在 x = 0 到 x = 5 之间围出的区域绕 x 轴旋转，体积为 V = 3500π/3 ≈ 3665.19。完整给出圆盘法的建模与逐步计算。

以 y = eˣ 为界、横截面为正方形的立体体积 (e⁶ − 1)/2

体积是 (e⁶ − 1)/2 = 201.21。关键是看出每个正方形的边长就是 eˣ，于是体积积分变成 e^(2x) 在 0 到 3 上的定积分。

用球坐标求 (x² + y² + z²)² ≤ a³z 所围立体的体积：πa³/3

体积是 πa³/3。在球坐标下曲面化为 ρ = a(cos φ) 的三次方根，径向积分冒出的 ρ³ 恰好抵消这个三次方根，剩下的 φ 积分很好算。

求 sinⁿx 从 0 到 π/2 的积分（沃利斯公式）：I(n) = ((n−1)/n)·I(n−2)

递推公式 I(n) = ((n−1)/n)·I(n−2) 配上 I(0) = π/2 和 I(1) = 1，就给出沃利斯结果：n 为偶数时保留因子 π/2，n 为奇数时没有。

为什么 1/x 在 x = 0 处没有泰勒级数（只有洛朗级数）

泰勒级数需要 f(0) 以及在 0 处的各阶导数，可是 1/x 在那里根本没有定义。真正存在的展开是洛朗级数 x⁻¹，它带一个负指数幂。

∫x dx 等于 x²/2 吗？为什么必须补上积分常数 C

差一点：正确答案是 x²/2 + C。幂函数法则给出 x²/2，但每个 x²/2 + C 的导数都是 x，所以原函数是一整族，而不是一个函数。

x⁷ 的不定积分为什么不是 x⁸/3 + 7：正确答案是 x⁸/8 + C

x⁷ dx 的积分是 x⁸/8 + C，不是 x⁸/3 + 7。幂函数积分要除以新指数 8；而对 x⁸/3 求导得到的是 8x⁷/3，不是 x⁷。