求当 x 趋于正无穷时 (2ˣ − 3ˣ)/(2ˣ + 3ˣ) 的极限。

Step-by-step solution

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   先判断是什么类型。 $2^x$ 和 $3^x$ 都趋于 $\infty$，所以这个商是 $\tfrac{\infty-\infty}{\infty+\infty}$——不定式。顺便说一句，洛必达法则在这里并不好用：求导之后形状照旧，只是多出 $\ln 2$、$\ln 3$ 这些因子，永远化简不下去。

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   判断哪个指数函数占主导。 当 $x$ 很大时，比较底数就能决定一切：由于 $3>2$，

   $\frac{2^{x}}{3^{x}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\longrightarrow 0\quad\text{当 }x\to\infty$

   因为底数 $\tfrac23<1$。所以分子分母里占主导的都是 $3^x$。

3. 3

   分子分母同除以主导项 $3^{x}$。 这是关键的一步代数变形——除以增长最快的那个量，正是消除不定性的办法：

   $\frac{2^{x}-3^{x}}{2^{x}+3^{x}}=\frac{\left(\frac23\right)^{x}-1}{\left(\frac23\right)^{x}+1}$

4. 4

   取极限。 记 $t=\left(\tfrac23\right)^{x}\to 0^{+}$：

   $\lim_{t\to 0^{+}}\frac{t-1}{t+1}=\frac{0-1}{0+1}=-1$

   所以极限是 $-1$。直观上讲，$-3^x$ 把其它项都压过去了，比值趋近于 $\tfrac{-3^x}{3^x}=-1$。

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   数值验证趋近过程，并看看反方向。 当 $x=50$ 时商是 $-0.9999999969$，到 $x=200$ 已经在机器精度下等于 $-1$ $\checkmark$。趋近是从上方进行的，因为 $\tfrac{t-1}{t+1}<0$，但随着 $t\to 0$ 逐渐减小到 $-1$。作为对照，当 $x\to-\infty$ 时角色互换——这时是 $2^x$ 占主导——同一个式子趋于 $+1$。