一杯刚倒好的咖啡温度为 90°C，放在 20°C 的房间里。10 分钟后咖啡冷却到 65°C。求 20 分钟后的温度，以及降到 30°C 需要多长时间。

Step-by-step solution

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   先列出微分方程。 牛顿冷却定律说，冷却的速率正比于物体高出周围环境的那部分温差，而不是正比于它自身的温度：

   $\frac{dT}{dt}=-k\,(T-T_a),\qquad T_a=20^\circ\text{C}$

   分离变量再积分，得到标准解

   $T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}=20+70e^{-kt}$

   因为 $T_0-T_a=90-20=70$。

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   用 10 分钟处的读数求出 $k$。 这是模型里唯一的未知量，一个数据点就足以把它定死：

   $65=20+70e^{-10k}\;\Longrightarrow\;e^{-10k}=\frac{45}{70}=\frac{9}{14}$

   $k=-\frac{1}{10}\ln\frac{9}{14}=\frac{1}{10}\ln\frac{14}{9}\approx0.04418\ \text{min}^{-1}$

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   求 20 分钟时的温度，全程不必动用 $k$ 的小数值。 因为 $20=2\times10$，指数项只要平方一次：

   $e^{-20k}=\left(e^{-10k}\right)^{2}=\left(\frac{9}{14}\right)^{2}=\frac{81}{196}$

   $T(20)=20+70\cdot\frac{81}{196}=20+\frac{405}{14}=20+28.93=48.93^\circ\text{C}$

   保留精确分数，就能避开 $70e^{-0.0442\times20}$ 那种舍入漂移。

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   求降到 $30^\circ\text{C}$ 所需的时间。 令 $T(t)=30$：

   $30=20+70e^{-kt}\;\Longrightarrow\;e^{-kt}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}\;\Longrightarrow\;kt=\ln 7$

   $t=\frac{\ln 7}{k}=\frac{10\ln 7}{\ln(14/9)}=\frac{19.459}{0.44183}\approx44.0\ \text{分钟}$

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   把两个答案互相印证一下。 头 10 分钟咖啡降了 $25^\circ$，第二个 10 分钟却只降了约 $16^\circ$（$65\to48.9$）——降幅越来越小，正是“指数式趋近室温”所预言的样子。而 $30^\circ\text{C}$ 只比室温高出 $10^\circ$，所以到达它要拖一条长长的尾巴；$44$ 分钟这个结果是相符的。咖啡在有限时间内永远到不了 $20^\circ\text{C}$，因为对所有 $t$ 都有 $e^{-kt}>0$。