求 x 趋于 1 时 (x² − 1)·tan(2x − 2) / sin²(x − 1) 的极限。

Step-by-step solution

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   先确认这是未定式。 在 $x = 1$ 处：$x^2-1 = 0$，$\tan(2x-2) = \tan 0 = 0$，$\sin^2(x-1) = 0$，所以整个式子是 $\dfrac{0 \cdot 0}{0}$——货真价实的未定式，不允许直接代入。

2. 2

   令 $u = x-1$，把所有东西都挪到零附近。 于是 $x = u+1$，$x^2 - 1 = (x-1)(x+1) = u(u+2)$，$2x-2 = 2u$，$x-1 = u$，并且 $u \to 0$：

   $\lim_{u\to 0}\frac{u(u+2)\tan(2u)}{\sin^2 u}$

   这个换元就是全部诀窍：它把两个标准的小角极限亮了出来。

3. 3

   用两个标准极限改写。 把式子拆开，让每个三角因子都配上自己的自变量：

   $\frac{u(u+2)\tan(2u)}{\sin^2 u} = (u+2)\cdot\underbrace{\frac{\tan(2u)}{2u}}_{\to\,1}\cdot 2 \cdot \underbrace{\left(\frac{u}{\sin u}\right)^{2}}_{\to\,1}$

   这里 $u \cdot \dfrac{2u}{u^2} = \dfrac{2}{1}$ 交代了那个因子 $2$ 的来历，用到的是 $\lim_{t\to0}\tfrac{\tan t}{t} = 1$ 和 $\lim_{u\to0}\tfrac{\sin u}{u} = 1$。

4. 4

   逐个因子取极限。

   $\lim_{u\to 0}(u+2) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2 \cdot 2 = 4$

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   用最低阶近似交叉验证。 当 $u$ 很小时，$\tan(2u) \approx 2u$，$\sin^2 u \approx u^2$，所以整个商的行为像 $\dfrac{u(u+2)(2u)}{u^2} = 2(u+2) \to 4$ ✓——换一条更短的路，答案相同。

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   数值验证。 取 $u = 0.01$（即 $x = 1.01$）：分子 $= 0.01 \times 2.01 \times \tan(0.02) = 0.01 \times 2.01 \times 0.0200027 = 0.000402054$，分母 $= \sin^2(0.01) = 0.0000999967$，商 $= 4.02067$。取 $u = 0.001$ 时商是 $4.002007$ ✓，正朝 $4$ 收拢，而符号计算给出的极限恰好就是 $4$。