求 x² + 3 从 x = 0 到 x = 1 关于 x 的定积分。

Step-by-step solution

1. 1

   利用线性把和式拆开。 积分是线性的，所以两项可以各算各的：

   $\int_{0}^{1}\left(x^{2}+3\right)dx=\int_{0}^{1}x^{2}\,dx+\int_{0}^{1}3\,dx.$

2. 2

   用幂法则分别求原函数。 当 $n\ne-1$ 时 $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$：

   $\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int 3\,dx=3x.$

   于是整个被积函数的一个原函数就是 $F(x)=\frac{x^{3}}{3}+3x$。定积分不必写积分常数——它在相减时会被抵消掉。

3. 3

   套用牛顿-莱布尼茨公式。 把 $F$ 在上限处求值，再减去它在下限处的值：

   $\left[\frac{x^{3}}{3}+3x\right]_{0}^{1}=F(1)-F(0).$

4. 4

   把两个值算出来。 当 $x=1$ 时：

   $\frac{1}{3}+3=\frac{1}{3}+\frac{9}{3}=\frac{10}{3}.$

   当 $x=0$ 时为 $0+0=0$。相减得

   $\int_{0}^{1}\left(x^{2}+3\right)dx=\frac{10}{3}-0=\frac{10}{3}\approx3.3333.$

5. 5

   用几何估计粗查一遍。 在 $[0,1]$ 上被积函数从 $3$ 涨到 $4$，所以这块面积必然严格介于 $3\times1=3$ 和 $4\times1=4$ 之间——$\tfrac{10}{3}=3.33$ 确实落在中间 ✓。拆开来看，常数项 $3$ 贡献一个面积为 $3$ 的矩形，$x^{2}$ 贡献 $\tfrac13$，后者正是大家熟悉的单位抛物线下的面积。