求 f(x) = e^(−x²) · sin(3x) 的一阶导数与二阶导数。

Step-by-step solution

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   先摆好乘积法则。 取 $u = e^{-x^2}$、$v = \sin(3x)$，这两个因子本身都是复合函数，所以求各自的导数时还要用链式法则：

   $u' = e^{-x^2}\cdot(-2x) = -2xe^{-x^2}, \qquad v' = 3\cos(3x)$

   内层导数 $-2x$ 和 $3$ 是这里最容易漏掉的两个因子。

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   拼出一阶导数并提公因式。

   $f'(x) = -2xe^{-x^2}\sin(3x) + 3e^{-x^2}\cos(3x) = e^{-x^2}\left(3\cos 3x - 2x\sin 3x\right)$

   把 $e^{-x^2}$ 提到最前面，接下来求二阶导数会轻松很多。

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   对括号里的部分求导，为二阶导数做准备。 记 $w = 3\cos 3x - 2x\sin 3x$，则

   $w' = -9\sin 3x - \left(2\sin 3x + 6x\cos 3x\right) = -11\sin 3x - 6x\cos 3x$

   $-2x\sin 3x$ 这一项要再用一次乘积法则，它同时贡献了 $-2\sin 3x$ 和 $-6x\cos 3x$。

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   再用一次乘积法则。

   $f''(x) = u'w + uw' = -2xe^{-x^2}\left(3\cos 3x - 2x\sin 3x\right) + e^{-x^2}\left(-11\sin 3x - 6x\cos 3x\right)$

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   把正弦项和余弦项各自合并。 余弦项合成 $-6x - 6x = -12x$，正弦项合成 $4x^2 - 11$：

   $f''(x) = e^{-x^2}\left(\left(4x^2 - 11\right)\sin 3x - 12x\cos 3x\right)$

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   在 x = 0 处检验。 由公式得 $f'(0) = 1\cdot(3 - 0) = 3$，$f''(0) = 1\cdot(-11\cdot 0 - 0) = 0$。直接展开也是一样：在 $0$ 附近有 $f(x) \approx (1-x^2)(3x - \tfrac{9x^3}{2}) = 3x + O(x^3)$，所以原点处的斜率是 $3$，二阶导数为零 —— 两边完全对上。