求当 x 趋于正无穷时 x^(x+1)/(1+x)^x - 1/e 的极限。

Step-by-step solution

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   先改写这个商，把经典的 $e$ 极限逼出来。 从分子里分出一个 $x$：$\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}=x\cdot\frac{x^{x}}{(1+x)^{x}}=x\left(\frac{x}{1+x}\right)^{x}=x\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}.$ 正是这一步，把一座吓人的指数塔变成了内部含有已知极限的式子。

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   求括号那个因子的极限。 由标准极限 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\tfrac1x\right)^{x}=e$ 得 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}\longrightarrow\frac{1}{e},$ 所以这个因子稳定到常数 $e^{-1}\approx 0.3678794$——既不趋于零，也不发散。

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   把两部分乘回去。 一个趋于正常数 $1/e$ 的因子，乘上一个 $x\to+\infty$ 的因子，结果必然发散：$\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}=x\left(1+\frac1x\right)^{-x}\sim\frac{x}{e}\longrightarrow +\infty.$ 也就是说，原式的第一项是无界增长的，增长速度是线性的 $x/e$。

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   再把那个常数减掉。 因为 $\dfrac1e$ 是一个固定的有限数，减掉它对发散没有任何影响：$\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}-\frac{1}{e}\right)=+\infty.$ 常数永远抵消不了一个发散项——只有本身就按 $x/e$ 增长的东西才办得到。

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   看看减得更“准”一点会怎样。 把 $x\ln\!\left(1+\tfrac1x\right)=1-\tfrac{1}{2x}+\tfrac{1}{3x^{2}}-\cdots$ 展开再取指数，得 $x\left(1+\frac1x\right)^{-x}=\frac{x}{e}+\frac{1}{2e}-\frac{5}{24e\,x}+O\!\left(x^{-2}\right).$ 于是若减去的是 $\dfrac{x}{e}$ 而不是 $\dfrac{1}{e}$，极限就是有限的：$\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}-\frac{x}{e}\right)=\frac{1}{2e}=0.1839397206,$ 这才是教科书上通常想考的那个版本。

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   把两个结论都用数值确认一遍。 在 $x=10^{5}$ 处原式的第一项等于 $36788.1280560984$，而 $x/e=36787.9441171442$，$1/e=0.3678794412$。所以减掉常数之后的差是 $36787.7601766572$——已经很大而且还在往上涨；减掉 $x/e$ 之后的差则是 $0.1839389542$，与 $\tfrac{1}{2e}$ 相差不超过 $7.7\times 10^{-7}$，与预测的误差项 $\tfrac{5}{24e\,x}=7.66\times 10^{-7}$ 吻合。