解微分方程 dy/dx + ay = b，其中 a 和 b 都是常数。

Step-by-step solution

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   先认出标准形式。 这个方程本身就是 $y'+P(x)y=Q(x)$，而且系数都是常数：

   $P(x)=a,\qquad Q(x)=b$

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   算出积分因子。

   $\mu(x)=e^{\int a\,dx}=e^{ax}$

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   两边乘上它，左边就能合成一个导数。

   $e^{ax}\frac{dy}{dx}+ae^{ax}y=be^{ax}\quad\Longrightarrow\quad\frac{d}{dx}\left(e^{ax}y\right)=be^{ax}$

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   在 $a\neq 0$ 的前提下积分。

   $e^{ax}y=\frac{b}{a}e^{ax}+C\quad\Longrightarrow\quad y=\frac{b}{a}+Ce^{-ax}$

   这里除以了 $a$，这正是 $a=0$ 必须单独处理的原因。

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   处理 $a=0$ 的情形。 方程退化成 $\tfrac{dy}{dx}=b$，解是一条直线：

   $y=bx+C$

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   验证并解释含义。 当 $a\neq 0$：$y'=-aCe^{-ax}$，而 $ay=b+aCe^{-ax}$，所以 $y'+ay=b$ $\checkmark$（取 $a=1.3$、$b=2.1$、$C=0.7$、$x=0.6$ 数值验证也吻合）。常数 $\tfrac{b}{a}$ 就是平衡值：若 $a>0$，任何解都会衰减着趋向它 —— 牛顿冷却定律和 RC 电路充电曲线背后就是这个形状。