求当 x 趋于无穷时 x³·e^(−2x) 的极限。

Step-by-step solution

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   把 $\infty\cdot 0$ 改写成 $\infty/\infty$。 照原样看，这是 $x^3\to\infty$ 与 $e^{-2x}\to 0$ 的乘积，没有哪条法则能直接套用。把指数项挪到分母上就解决了：

   $x^{3}e^{-2x}=\frac{x^{3}}{e^{2x}}$

   现在分子分母都趋于 $\infty$，这正是洛必达法则能处理的形式。

2. 2

   对分子分母各求一次导。

   $\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{e^{2x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}}{2e^{2x}}$

   每求一次导，分子的次数就降一次，而分母只是多乘一个常数 $2$——那个指数函数从来不会变小。

3. 3

   再求两次导。

   $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}}{2e^{2x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{6x}{4e^{2x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{6}{8e^{2x}}$

   在分子变成常数之前，每一步都仍是 $\infty/\infty$ 型；分子一变成常数，就该停手了。

4. 4

   对最后的式子求值。 现在分子固定为 $6$，而 $e^{2x}\to\infty$，所以

   $\frac{6}{8e^{2x}}\to 0\ \Longrightarrow\ \lim_{x\to\infty}x^{3}e^{-2x}=0$

5. 5

   认清这背后的一般规律。 对任意 $n>0$ 与 $a>0$ 都有 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{n}e^{-ax}=0$：指数函数总能压过任何多项式。知道这一条，一眼就能省掉那三次洛必达。数值上，$x=20$ 时 $x^3e^{-2x}$ 是 $3.4\times 10^{-14}$，$x=50$ 时是 $4.7\times 10^{-39}$ ✓。