求 y = e^(2x) * artanh(sqrt(e^x - 1)) 关于 x 的导数。

Step-by-step solution

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   求导之前先定出定义域。 平方根要求 $e^{x}-1\ge 0$，即 $x\ge 0$；而 $\operatorname{artanh}(z)$ 要求 $|z|<1$，即 $e^{x}-1<1$，也就是 $x<\ln 2$。所以这个函数只在

   $0\le x<\ln 2\approx 0.693$

   上存在。知道这一点，就能解释后面出现的因式 $2-e^{x}$ 为什么始终不变号。

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   列出乘法法则。 取 $u=e^{2x}$，$v=\operatorname{artanh}\left(\sqrt{e^{x}-1}\right)$，

   $y'=u' v+uv',\qquad u'=2e^{2x}$

   难点在 $v'$，它是一个两层的复合。

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   对内层的平方根求导。 记 $z=\left(e^{x}-1\right)^{1/2}$，由链式法则

   $z'=\frac12\left(e^{x}-1\right)^{-1/2}\cdot e^{x}=\frac{e^{x}}{2\sqrt{e^{x}-1}}$

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   套用 artanh 的导数公式，并化简 $1-z^{2}$。 因为 $\dfrac{d}{dz}\operatorname{artanh}z=\dfrac{1}{1-z^{2}}$，而这里恰好 $z^{2}=e^{x}-1$，所以

   $1-z^{2}=1-\left(e^{x}-1\right)=2-e^{x}$

   这个因式里的平方根完全消失了 —— 这是一次实实在在的化简，也是最终答案还能读得下去的原因。注意 $2-e^{x}>0$ 恰好就在第 1 步求出的定义域上成立。

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   先拼出 $v'$，再拼出 $y'$。

   $v'=\frac{e^{x}}{2\sqrt{e^{x}-1}\left(2-e^{x}\right)}$

   $y'=2e^{2x}\operatorname{artanh}\left(\sqrt{e^{x}-1}\right)+\frac{e^{2x}\cdot e^{x}}{2\sqrt{e^{x}-1}\left(2-e^{x}\right)}=2e^{2x}\operatorname{artanh}\left(\sqrt{e^{x}-1}\right)+\frac{e^{3x}}{2\sqrt{e^{x}-1}\left(2-e^{x}\right)}$

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   在定义域内部作数值检验。 取 $x=0.5$，对原函数作中心差商得 $13.9758241$，公式给出 $13.9758241$ ✓；取 $x=0.6$，两者都是 $28.7724865$ ✓。导数在定义域的两端都会发散，这与因式 $\sqrt{e^{x}-1}\to 0$ 和 $2-e^{x}\to 0$ 的预示一致。