求当 x 趋于 1 时 (1 - x)/(√(5 - x²) - 2) 的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   先判断类型。 在 $x=1$ 处分子是 $0$，分母是 $\sqrt{4}-2=0$，所以这是 $\frac{0}{0}$ 型，必须先做代数变形。

2. 2

   要有理化的是分母，不是分子。 这一回根号在下面，所以分子分母同乘 $\sqrt{5-x^2}+2$。分母就变成了 $\left(5-x^2\right)-4=1-x^2$。

3. 3

   把整个分式重写一遍。 现在式子是 $\frac{(1-x)\left(\sqrt{5-x^2}+2\right)}{1-x^2}$。

4. 4

   因式分解并约分。 由于 $1-x^2=(1-x)(1+x)$，那个碍事的 $(1-x)$ 被约掉，对所有 $x\neq 1$ 都只剩下 $\frac{\sqrt{5-x^2}+2}{1+x}$。

5. 5

   代入 $x=1$。 化简后的式子在 $1$ 处连续：$\frac{\sqrt{4}+2}{2}=\frac{4}{2}=2$。

6. 6

   数值确认。 在 $x=1+10^{-8}$ 处直接计算原式，得到 $2.0000$，与代数结果完全吻合。