求微分方程 x' = 4t x^2 的全部解 x(t)。

Step-by-step solution

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   先看出这个方程是可分离变量的。 右边可以写成（只含 $t$ 的函数）乘以（只含 $x$ 的函数）：$4t\cdot x^2$。这正是能用分离变量法的条件。

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   分离变量并积分。 假设 $x\ne 0$ 以保证除法合法，$\frac{dx}{x^2}=4t\,dt\ \Longrightarrow\ \int x^{-2}\,dx=\int 4t\,dt\ \Longrightarrow\ -\frac1x=2t^2+C_0.$

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   解出 $x$。 两边乘以 $-1$ 得 $\dfrac1x=-2t^2-C_0$。令 $C=-C_0$ 把符号吸收进去：$x(t)=\frac{1}{C-2t^2},\qquad C\in\mathbb{R}.$ 每个这样的解只存在于 $C-2t^2\ne 0$ 的区间上；当 $C>0$ 时它在 $t=\pm\sqrt{C/2}$ 处发散。

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   把分离变量丢掉的那个解找回来。 除以 $x^2$ 时悄悄假定了 $x\ne 0$。直接检验 $x(t)\equiv 0$：此时 $\dot{x}=0$ 而 $4tx^2=0$，方程成立。它是一个货真价实的解，而且对任何有限的 $C$ 都不能写成 $1/(C-2t^2)$ 的形式。

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   验证这一族解。 对 $x=(C-2t^2)^{-1}$ 求导得 $\dot{x}=-(C-2t^2)^{-2}(-4t)=\dfrac{4t}{(C-2t^2)^2}=4tx^2$，与方程一致。

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   写出完整的解集。 $x(t)\equiv 0\qquad\text{或}\qquad x(t)=\frac{1}{C-2t^2}\ \ (C\in\mathbb{R}),$ 每个解都定义在使分母不为零的最大区间上。