求当 x 趋于 0 时 (sin 3x + x)/(x + sin 5x) 的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   先辨认类型。 $\sin 3x+x$ 与 $x+\sin 5x$ 在 $x=0$ 处都为零，所以这是 $\frac{0}{0}$ 型。

2. 2

   回忆那个关键极限。 对任意常数 $k$ 都有 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin kx}{x}=k$，它来自 $\frac{\sin kx}{x}=k\cdot\frac{\sin kx}{kx}$ 以及 $\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$。

3. 3

   分子分母同除以 $x$。 当 $x\neq 0$ 时，原商等于 $\frac{\frac{\sin 3x}{x}+1}{1+\frac{\sin 5x}{x}}$。除以 $x$ 是这里的标准动作，因为它把每一项都变成了那个已知的极限。

4. 4

   逐项取极限。 分子趋于 $3+1=4$，分母趋于 $1+5=6$；两个极限都存在，且分母的极限不为零，所以可以用极限的商的运算法则。

5. 5

   算出比值。 $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。

6. 6

   数值验证。 在 $x=10^{-6}$ 处，原式的值是 $0.66666667$，与 $\frac{2}{3}$ 吻合。