求 n 趋于无穷时 ln(n)/n² 的极限。

Step-by-step solution

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   先认出这是哪种未定式。 当 $n\to\infty$ 时 $\ln n\to\infty$ 且 $n^{2}\to\infty$，所以这个商是 $\infty/\infty$ 型。这种形式没有现成的值 —— 答案取决于哪一部分涨得更快，所以我们需要一件比较工具，而不是直接代入。

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   用一次洛必达法则。 把 $n$ 当作连续变量，对分子和分母分别求导：

   $\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^{2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{2n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n^{2}}=0$

   用一次就够了，因为对 $\ln n$ 求导会把对数彻底消掉，而分母依然是个幂函数。

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   顺便核对一下增长快慢的次序。 这个结果是一个一般事实的特例：对每个 $p>0$，$\ln n$ 都比 $n^{p}$ 长得慢，所以 $\ln n/n^{p}\to0$ 总成立。数值上 $\ln(10^{6})/(10^{6})^{2}\approx1.4\times10^{-11}$ —— 已经基本上是零了 ✓。

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   把最大值点找出来，免得把衰减误当成一路单调递减。 记 $f(n)=\ln n\cdot n^{-2}$，由乘积法则

   $f'(n)=\frac{1}{n}\cdot n^{-2}+\ln n\cdot(-2)n^{-3}=\frac{1-2\ln n}{n^{3}}$

   它在 $\ln n=\tfrac12$ 处为零，也就是 $n=\sqrt{e}\approx1.6487$。所以 $f$ 先上升到 $n\approx1.65$，之后才衰减到 $0$。在 $n=2,5,9$ 处用数值导数与这个公式比对，误差在 $10^{-6}$ 以内 ✓。

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   说清这个极限对级数意味着什么、又不意味着什么。 通项趋于 $0$ 是收敛的必要条件，但不是充分条件。这里级数确实收敛，可以用比较判别法：当 $n$ 较大时 $\ln n<n^{1/2}$，于是 $\dfrac{\ln n}{n^{2}}<\dfrac{1}{n^{3/2}}$，而 $\sum n^{-3/2}$ 是 $p=3/2>1$ 的收敛 $p$ 级数。

   这个和的值是 $-\zeta'(2)\approx0.93755$；把前两百万项加起来得到 $0.9375405$ ✓。