解微分方程 y'' + 4y = 0。

Step-by-step solution

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   先试一个指数型的试探解。 对常系数线性常微分方程，$y=e^{rx}$ 总能把方程变成一个代数方程：

   $y=e^{rx}\Rightarrow y''=r^2e^{rx}$

2. 2

   写出特征方程。 代入之后把 $e^{rx}$ 提出来，它永远不为零：

   $r^2e^{rx}+4e^{rx}=e^{rx}\left(r^2+4\right)=0\quad\Longrightarrow\quad r^2+4=0$

3. 3

   求出 $r$。

   $r^2=-4\quad\Longrightarrow\quad r=\pm 2i$

   纯虚根说明这是纯粹的振荡，既不增长也不衰减。

4. 4

   把复指数换成实数形式。 对于根 $r=\alpha\pm\beta i$，实数形式的通解是 $e^{\alpha x}\left(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\right)$。这里 $\alpha=0$、$\beta=2$，所以指数包络就是 $e^{0}=1$：

   $y(x)=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x$

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   直接代入验证。 取 $y=\cos 2x$：$y''=-4\cos 2x$，于是 $y''+4y=0$ $\checkmark$。取 $y=\sin 2x$：$y''=-4\sin 2x$，结果同样是 $0$ $\checkmark$。因为方程是线性的，这两个解的任意组合也成立。从物理上看，这就是角频率 $\omega=2$、周期为 $\pi$ 的简谐运动。